الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 28 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 3 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 28 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 13 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 2 m/s ويتوقّف بعد 0,51 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 2 m/sd = 0,51 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 55 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 7 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 4 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,25 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسمين a.

m₁ = 4 kgm₂ = 7 kgF = 55 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق نحو جدار على بعد 8 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 22 m/sθ = 65°x = 8 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 32 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 14 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h_roof = 14 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,3 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 40° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 1,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 17 m على المنحدر.

θ = 30°μ = 0,3d = 17 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1300 kg تسير شرقًا بسرعة 10 m/s بسيارة كتلتها 1200 kg تسير شمالًا بسرعة 9 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1300 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 9 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 7 kg وطوله 0,9 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. كرة صغيرة كتلتها 5 kg مثبّتة عند طرفه الحر. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب لحظة مروره بالوضع الرأسي.

m = 7 kgL = 0,9 mm_ball = 5 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 10 kg وطوله 0,9 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 35 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 600 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,46 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر زاوية φ عن الرأسي يتأرجح بها القضيب.

M = 10 kgL = 0,9 mm = 35 gv = 600 m/sd = 0,46 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 25 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 32 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 5,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 32η = 96%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 18 سنًّا ولكل ترس كوكبي 18 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 3000 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 18N_p = 18n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,2 kg على نابض k = 190 N/m تُسحب 3 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,05 s (مع الإشارة).

m = 2,2 kgk = 190 N/mA = 3 cmt = 0,05 s

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,7 kg على نابض k = 410 N/m تُسحب 11 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 2,7 kgk = 410 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 30 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 4,5 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 4,5 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 60 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 522,7 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/3 = 18,67 s

المسافة

d = v·t = 28·18,67 = 522,7 m

الإجابة

d = 522,7 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 56 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,519 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−15 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 15 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,519 s

الإجابة

t = 3,519 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,3998

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·0,51) = 3,922 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,922/9,81 = 0,3998

الإجابة

μ = 0,3998

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,547 m/s²

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 26,98)/11 = 2,547 m/s²

الإجابة

a = 2,547 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 13,52 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 22·cos 65° = 9,298 m/s

t = x/v_x = 8/9,298 = 0,8604 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 19,94·0,8604 − ½·9,81·0,8604² = 13,52 m

الإجابة

y = 13,52 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 81,42 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 16 m/s, v_y = 27,71 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

14 = 27,71·t − 4,905·t²

t = (27,71 + √(27,71² − 2·9,81·14))/9,81 = 5,089 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16·5,089 = 81,42 m

الإجابة

x = 81,42 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 2,623 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,3·sin 40° = 0,8356 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8356·9,81·tan 40°) = 2,623 m/s

الإجابة

v = 2,623 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,706 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

الإجابة

v_min = 3,706 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,951 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·17·(0,5 − 0,3·0,866)) = 8,951 m/s

الإجابة

v = 8,951 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 42,6 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,25·1,5) = 181,5 J

أقصى انضغاط

½kx² = 181,5 → x = √(2·181,5/2000) = 0,426 m = 42,6 cm

الإجابة

x = 42,6 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 1,333 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·2 = −0,6667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·2 = 1,333 m/s

الإجابة

v′₂ = 1,333 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 6,76 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1300·10 = 13000 kg·m/s

p_y = 1200·9 = 10800 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 16901/2500 = 6,76 m/s

الإجابة

v′ = 6,76 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 5,027 rad/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7·9,81·0,45 + 5·9,81·0,9 = 75,05 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1,89 + 4,05 = 5,94 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 75,05 → ω = √(2·75,05/5,94) = 5,027 rad/s

الإجابة

ω = 5,027 rad/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: φ = 52,34 °

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 10·0,9²/3 + 0,035·0,46² = 2,707 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,035·600·0,46/2,707 = 3,568 rad/s

الطاقة أثناء التأرجح

½·I·ω² = ½·2,707·3,568² = 17,23 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 44,3·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 17,23/44,3 = 0,611 → φ = 52,34°

الإجابة

φ = 52,34°

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 44,51 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151,8 = 36,22 N·m

عزم الخرج

T₂ = 36,22·32/25·0,96 = 44,51 N·m

الإجابة

T₂ = 44,51 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 750 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·18 = 54

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −54/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·18/72 = 750 rpm

الإجابة

n_c = 750 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,1249 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(190/2,2) = 9,293 rad/s

ω·t = 9,293·0,05 = 0,4647 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,03·9,293·sin(0,4647) = −0,1249 m/s

الإجابة

v = −0,1249 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 16,7 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(410/2,7) = 12,32 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,11·12,32² = 16,7 m/s²

الإجابة

a_max = 16,7 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,06028

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(30/4,5) = 0,3794

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3794/√(39,48 + 0,144) = 0,06028

الإجابة

ζ = 0,06028

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 100 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 40 = 100 kN/m

الإجابة

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics