الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 280 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1500 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 40 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 25 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 40 mv_0B = 25 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 25 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 35° فوق الأفق بقوة 200 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 25 kgF = 200 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 20° فوق الأفق وتهبط على بعد 110 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 20°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 60 m مائل بزاوية 5°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 60 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,8 kg مربوطة بخيط طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 4,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,8 kgr = 0,5 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 6 m على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,35. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,35d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 1000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 30° يُضغط بمقدار 20 cm أمام جسم كتلته 1 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,25. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 1 kgk = 1000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1600 kg تتحرّك بسرعة 20 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1300 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 1600 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,1 kg تصطدم بجدار بسرعة 8 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 11 m/s. يدوم التلامس 50 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,1 kgv_in = 8 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 30,5 kg·m² تدور بسرعة 1700 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 75 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 30,5 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 75 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 20° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 6 m على امتداد المنحدر.

θ = 20°s = 6 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 200 mm تدور بسرعة 720 rpm بكرةً قطرها 250 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 250 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 80 mm وبكرة قطرها 500 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 80 mmd₂ = 500 mmC = 1000 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 0,9 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 0,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,6 kg على نابض k = 330 N/m تُسحب 9 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 3,6 kgk = 330 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 100 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 100 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 100 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 12 kN/m و k₂ = 25 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 2,016 m/s²

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1500) = 2,016 m/s²

الإجابة

a = 2,016 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: y = 27,44 m

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

40 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 40/25 = 1,6 s

ارتفاع الالتقاء

y = 25·1,6 − ½·9,81·1,6² = 27,44 m

الإجابة

y = 27,44 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,509 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 200·sin 35° = 130,5 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 163,8 − 26,11

a = 137,7/25 = 5,509 m/s²

الإجابة

a = 5,509 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,431 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 6,131)/7 = 5,431 m/s²

الإجابة

a = 5,431 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 40,97 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 40°) = 40,97 m/s

الإجابة

v₀ = 40,97 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 69,45 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16,26 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 20 + 16,26·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,26 + √(264,5 + 392,4))/9,81 = 4,27 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,26·4,27 = 69,45 m

الإجابة

x = 69,45 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 7,176 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(60·9,81·tan 5°) = 7,176 m/s

الإجابة

v = 7,176 m/s

(25,83 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 90,56 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·4,5²/0,5 = 17,66 + 72,9 = 90,56 N

الإجابة

T = 90,56 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 93,35 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,9063 = 44,45 N

F = μN = 0,35·44,45 = 15,56 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 15,56·6 = 93,35 J

الإجابة

W_f = 93,35 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 2,845 m

طاقة النابض

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·1000·0,2² = 20 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 20/(9,81·(0,5 + 0,25·0,866)) = 2,845 m

الإجابة

d = 2,845 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 143448 J

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·20/2900 = 11,03 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1600·20² = 320000 J

K_after = ½·2900·11,03² = 176552 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 320000 − 176552 = 143448 J

الإجابة

ΔK = 143448 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 1,9 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,1·(11 + 8) = 1,9 N·s

الإجابة

J = 1,9 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 1026 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·30,5·178² = 483309 J

θ = 483309/75 = 6444 rad

الدورات

N = θ/2π = 1026 rev

الإجابة

N = 1026 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 5,181 m/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 6·sin 20° = 2,052 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·2,052/1,5) = 5,181 m/s

الإجابة

v = 5,181 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 564,5 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

720·200/250 = 576 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 576·0,98 = 564,5 rpm

الإجابة

n₂ = 564,5 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 155,8 °

زاوية السير

asin(0,21) = 12,12°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·12,12 = 155,8°

الإجابة

θ = 155,8°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 1,903 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(0,9/9,81) = 1,903 s

الإجابة

T = 1,903 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 8,25 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(330/3,6) = 9,574 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,09·9,574² = 8,25 m/s²

الإجابة

a_max = 8,25 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,613 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(100000/100) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,4²) = 4,613 Hz

الإجابة

f_d = 4,613 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,231 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 12 + 25 = 37 kN/m

k_eq = 37·100/(37 + 100) = 27,01 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(27007/25) = 32,87 rad/s

f_n = 32,87/(2π) = 5,231 Hz

الإجابة

f_n = 5,231 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics