الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 90 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 15 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 7 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 7 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 50° فوق الأفق وتهبط على بعد 80 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 50°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 23 m/s وبزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 115 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 115 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,6 kg مربوطة بخيط طوله 1,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 9 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,6 kgr = 1,5 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2,5 kg مسافة 3 m على منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 1,5 mL = 1,5 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1400 kg تتحرّك بسرعة 17 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 600 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1400 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 9 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 6 m/s. يدوم التلامس 20 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,45 kgv_in = 9 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 9 kg·m² تدور بسرعة 1900 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 165 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 9 kg·m²n = 1900 rpmT_b = 165 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 8,5 kg وطوله 1,4 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 10 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 460 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,66 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 8,5 kgL = 1,4 mm = 10 gv = 460 m/sd = 0,66 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 45 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 80 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 45N₂ = 80η = 100%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (45 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (36 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 45B = 50C = 36D = 48

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,1 kg على نابض k = 110 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 9 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 4 cm من موضع الاتزان.

m = 1,1 kgk = 110 N/mA = 9 cmx = 4 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,9 kg على نابض k = 130 N/m تُسحب 20 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 1,9 kgk = 130 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 3,9 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₃ = 3,9 mmn = 3

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 40 kN/m و k₂ = 15 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 56,82 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5,5) = 56,82 m

الإجابة

s = 56,82 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,607 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−35 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 35 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,607 s

الإجابة

t = 4,607 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,427 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

الإجابة

a = 4,427 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,154 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 14,71)/8,5 = 1,154 m/s²

الإجابة

a = 1,154 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 28,23 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 100°) = 28,23 m/s

الإجابة

v₀ = 28,23 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 19,82 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 23·sin 25° = 9,72 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 9,72²/(2·9,81) = 4,816 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 15 + 4,816 = 19,82 m

الإجابة

H = 19,82 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 26,02 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·115) = 26,02 m/s

الإجابة

v_max = 26,02 m/s (93,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 38,29 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·9²/1,5 = 5,886 + 32,4 = 38,29 N

الإجابة

T = 38,29 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 9,04 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,15·20,09 = 3,013 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,013·3 = 9,04 J

الإجابة

W_f = 9,04 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 14,15 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(1,5 − 0,15·1,5) = 50,03 J

أقصى انضغاط

½kx² = 50,03 → x = √(2·50,03/5000) = 0,1415 m = 14,15 cm

الإجابة

x = 14,15 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 30 %

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·17/2000 = 11,9 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1400·17² = 202300 J

K_after = ½·2000·11,9² = 141610 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 60690/202300 = 30 %

الإجابة

ΔK/K = 30 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 337,5 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(6 + 9) = 6,75 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 6,75/0,02 = 337,5 N

الإجابة

F_avg = 337,5 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 10,85 s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 165/9 = 18,33 rad/s²

t = ω/α = 199/18,33 = 10,85 s

الإجابة

t = 10,85 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 0,5463 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·1,4²/3 + 0,01·0,66² = 5,558 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,01·460·0,66/5,558 = 0,5463 rad/s

الإجابة

ω = 0,5463 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 72,44 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

الإجابة

T₁ = 72,44 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1958 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 2900·45/50 = 2610 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2610·36/48 = 1958 rpm

الإجابة

n_out = 1958 rpm

النسبة الكلية = 1,481 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,8062 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(110/1,1) = 10 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0,09² − 0,04²) = 0,8062 m/s

الإجابة

v = 0,8062 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 13,68 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(130/1,9) = 8,272 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,2·8,272² = 13,68 m/s²

الإجابة

a_max = 13,68 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04989

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(10/3,9) = 0,3139

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

الإجابة

ζ = 0,04989

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 55 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 15 = 55 kN/m

الإجابة

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics