الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 54 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 54 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 12 m/s من حافة سطح يرتفع 5 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 4 kg على منحدر يميل 40° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 9 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 30 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 30 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 29 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 80 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 80 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 160 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 160 mθ = 30°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 11 m على المنحدر.

θ = 45°μ = 0,25d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 3000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 30° يُضغط بمقدار 15 cm أمام جسم كتلته 3 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,1. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1700 kg تتحرّك بسرعة 17 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1700 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1700 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 15 g أفقيًا في كتلة مقدارها 1 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,2 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 25° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 15 gM = 1 kgL = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 36 kg·m² تدور بسرعة 1700 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 160 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 36 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 160 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 11 kg، ونصف قطره 0,5 m) يدور بحرية بسرعة 800 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 13 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. أوجد سرعتهما المشتركة n₂ بوحدة rpm.

M_disc = 11 kgM_ring = 13 kgR = 0,5 mn₁ = 800 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 15 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 15 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 24 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 24η = 100%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (15 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 15C = 25D = 72

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 4 kg على نابض k = 100 N/m تُسحب 13 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 1,45 s (مع الإشارة).

m = 4 kgk = 100 N/mA = 13 cmt = 1,45 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,9 s وسعة 4 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 1,2 cm؟

T = 1,9 sA = 4 cmx = 1,2 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 5,3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 5,3 mmn = 2

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 12 kN/m و k₂ = 50 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 14,06 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·8) = 14,06 m

الإجابة

s = 14,06 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 2,809 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−5 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 5 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·5))/9,81 = 2,809 s

الإجابة

t = 2,809 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,02 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

الإجابة

a = 4,02 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,504 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 25,22 N

μ·m₁·g·cos θ = 4,509 N

تسارع النظام

a = (88,29 − 25,22 − 4,509)/13 = 4,504 m/s²

الإجابة

a = 4,504 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 86,21 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24,57 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·24,57/9,81 = 5,01 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 17,21·5,01 = 86,21 m

الإجابة

x = 86,21 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 93,95 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 15° = 28,01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 15° = 7,506 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 30 + 7,506·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,506 + √(56,34 + 588,6))/9,81 = 3,354 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 28,01·3,354 = 93,95 m

الإجابة

x = 93,95 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 19,81 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·80) = 19,81 m/s

الإجابة

v_max = 19,81 m/s (71,31 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 40,81 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(160·9,81·0,7598/0,716) = 40,81 m/s

الإجابة

v_max = 40,81 m/s

(146,9 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 10,7 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 10,7 m/s

الإجابة

v = 10,7 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 1,955 m

طاقة النابض

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·3000·0,15² = 33,75 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33,75/(29,43·(0,5 + 0,1·0,866)) = 1,955 m

الإجابة

d = 1,955 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 50 %

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·17/3400 = 8,5 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1700·17² = 245650 J

K_after = ½·3400·8,5² = 122825 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 122825/245650 = 50 %

الإجابة

ΔK/K = 50 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 100,5 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 25°) = 0,1124 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,1124) = 1,485 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 1,015·1,485/0,015 = 100,5 m/s

الإجابة

v = 100,5 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 567,5 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·36·178² = 570463 J

θ = 570463/160 = 3565 rad

الدورات

N = θ/2π = 567,5 rev

الإجابة

N = 567,5 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 237,8 rpm

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·11·0,5² = 1,375 kg·m²

I₂ = 13·0,5² = 3,25 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 800·1,375/4,625 = 237,8 rpm

الإجابة

n₂ = 237,8 rpm

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 159,2 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

عزم الخرج

T₂ = 99,47·24/15·1 = 159,2 N·m

الإجابة

T₂ = 159,2 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 266,7 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 960·12/15 = 768 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 768·25/72 = 266,7 rpm

الإجابة

n_out = 266,7 rpm

النسبة الكلية = 3,6 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 7,383 cm

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(100/4) = 5 rad/s

ω·t = 5·1,45 = 7,25 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(7,25) = 7,383 cm

الإجابة

x = 7,383 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,09214 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,9 = 3,307 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/3,307 = 0,09214 s

الإجابة

t = 0,09214 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05046

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(10/5,3) = 0,3174

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3174/√(39,48 + 0,1008) = 0,05046

الإجابة

ζ = 0,05046

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 62 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 50 = 62 kN/m

الإجابة

k_eq = 62 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics