الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 2 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 1000 m.

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 36 m/s² لمدة 2 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 36 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 12 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 12 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 8,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 16 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق نحو جدار على بعد 17 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 16 m/sθ = 35°x = 17 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 27 m/s وبزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 35 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 35 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 9,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 9,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 4 kg مسافة 14 m على منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,15d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 3000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 30° يُضغط بمقدار 8 cm أمام جسم كتلته 0,5 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,1. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1500 kg تسير شرقًا بسرعة 11 m/s بسيارة كتلتها 1100 kg تسير شمالًا بسرعة 21 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1500 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 21 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 6 kg وطوله 3 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 6 kgL = 3 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 10° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². نصف قطره 0,15 m. أوجد سرعته الزاوية ω بعد أن يتدحرج 4 m على امتداد المنحدر.

θ = 10°s = 4 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 4 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 5,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 4 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 120 mm وبكرة قطرها 200 mm والمسافة بين مركزيهما 800 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 800 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,8 kg على نابض k = 430 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 9 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 3 cm من موضع الاتزان.

m = 0,8 kgk = 430 N/mA = 9 cmx = 3 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,3 kg على نابض k = 130 N/m تُسحب 17 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 3,3 kgk = 130 N/mA = 17 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 40 kg يحملها نابض جساءته 12 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 280 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 40 kgk = 12 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 15 kN/m والسفلي k₂ = 10 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 63,25 m/s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·2·1000) = 63,25 m/s

الإجابة

v = 63,25 m/s

(227,7 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 336,2 m

مرحلة الدفع

v₁ = 36·2 = 72 m/s

h₁ = ½·36·2² = 72 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9,81) = 264,2 m

h_max = 72 + 264,2 = 336,2 m

الإجابة

h_max = 336,2 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,427 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

الإجابة

a = 4,427 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,909 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 16,68)/14,5 = 2,909 m/s²

الإجابة

a = 2,909 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 3,651 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 16·cos 35° = 13,11 m/s

t = x/v_x = 17/13,11 = 1,297 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 9,177·1,297 − ½·9,81·1,297² = 3,651 m

الإجابة

y = 3,651 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 57,42 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 27·cos 55° = 15,49 m/s

v_y0 = 27·sin 55° = 22,12 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(22,12² + 2·9,81·5) = 24,23 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 24,23/15,49 → α = 57,42°

الإجابة

α = 57,42°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,57 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·35) = 16,57 m/s

الإجابة

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 23,75 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·9,5 = 23,75 m

الإجابة

h_min = 23,75 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 67,5 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,15·32,14 = 4,822 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 4,822·14 = 67,5 J

الإجابة

W_f = 67,5 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 3,336 m

طاقة النابض

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·3000·0,08² = 9,6 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9,6/(4,905·(0,5 + 0,1·0,866)) = 3,336 m

الإجابة

d = 3,336 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,4444 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·4 = −0,4444 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·4 = 3,556 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,4444 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 54,46 °

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1500·11 = 16500 kg·m/s

p_y = 1100·21 = 23100 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 1,4 → θ = 54,46°

الإجابة

θ = 54,46°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 14,72 N

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·3) = 4,905 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 6·(9,81 − 7,357) = 14,72 N

الإجابة

R = 14,72 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 17,4 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 4·sin 10° = 0,6946 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·0,6946/2) = 2,61 m/s

ω = v/r = 2,61/0,15 = 17,4 rad/s

الإجابة

ω = 17,4 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 301,8 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 5500/303,7 = 18,11 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 4·30 = 120 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·18,11/0,12 = 301,8 N

الإجابة

F_t = 301,8 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 174,3 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,05) = 2,866°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·2,866 = 174,3°

الإجابة

θ = 174,3°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,967 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(430/0,8) = 23,18 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 23,18·√(0,09² − 0,03²) = 1,967 m/s

الإجابة

v = 1,967 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 1,879 J

التردد الزاوي

ω = √(130/3,3) = 6,276 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·130·0,17² = 1,879 J

الإجابة

E = 1,879 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,2021

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·40) = 1386 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 280/1386 = 0,2021

الإجابة

ζ = 0,2021

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 1,233 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/10 → k_eq = 15·10/(15 + 10) = 6 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(6000/100) = 7,746 rad/s

f_n = 7,746/(2π) = 1,233 Hz

الإجابة

f_n = 1,233 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics