الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 90 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 17 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 13 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 13 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 4 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 12 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 35 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 30 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 35 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 40 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 40 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,3 kg مربوطة بخيط طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 8,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,3 kgr = 1,4 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1500 kg تصعد منحدرًا بزاوية 3° بسرعة ثابتة 54 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 550 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1500 kgθ = 3°F_r = 550 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 1 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 1500 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 2,5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1700 kg تتحرّك بسرعة 13 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1900 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1700 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 14 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 8 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,45 kgv_in = 14 m/sv_out = 8 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 10,5 kg·m² تدور بسرعة 2900 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 60 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 10,5 kg·m²n = 2900 rpmT_b = 60 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 3,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 2,5 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 3,5 kgv = 2,5 m/sI = ½·m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 15 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 72 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 1,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 72η = 100%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 15 سنًّا ولكل ترس كوكبي 15 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 900 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 15N_p = 15n_s = 900 rpm

n_r = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 1,8 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,5 kg على نابض k = 120 N/m تُسحب 7 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 1,5 kgk = 120 N/mA = 7 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 100 kg على نابض جساءته 150 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 100 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 10 kN/m والسفلي k₂ = 12 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 48,08 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6,5) = 48,08 m

الإجابة

s = 48,08 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,195 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−15 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 15 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·15))/9,81 = 4,195 s

الإجابة

t = 4,195 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,972 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

الإجابة

a = 1,972 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 27,25 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 9,81)/9 = 4,36 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4,36 + 9,81 = 27,25 N

الإجابة

T = 27,25 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 3,67 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8,485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8,485 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 8,485²/(2·9,81) = 3,67 m

الإجابة

H = 3,67 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 65,74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 35·cos 60° = 17,5 m/s

v_y0 = 35·sin 60° = 30,31 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(30,31² + 2·9,81·30) = 38,82 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 38,82/17,5 → α = 65,74°

الإجابة

α = 65,74°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,57 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·40) = 16,57 m/s

الإجابة

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 18,43 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·8,5²/1,4 = 2,943 + 15,48 = 18,43 N

الإجابة

T = 18,43 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 19,8 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 3° = 770,1 N

F = 770,1 + 550 = 1320 N

القدرة

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1320·15 = 19802 W = 19,8 kW

الإجابة

P = 19,8 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 3,962 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 24,53·(1 − 0,1·2) = 19,62 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,8) = 3,962 m/s

الإجابة

v = 3,962 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 52,78 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·13/3600 = 6,139 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1700·13² = 143650 J

K_after = ½·3600·6,139² = 67835 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 75815/143650 = 52,78 %

الإجابة

ΔK/K = 52,78 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 9,9 N·s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(8 + 14) = 9,9 N·s

الإجابة

J = 9,9 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 53,15 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 60/10,5 = 5,714 rad/s²

t = ω/α = 303,7/5,714 = 53,15 s

الإجابة

t = 53,15 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 33,33 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·3,5·2,5² = 10,94 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·10,94 = 5,469 J

حصة الدوران

p = 5,469/16,41·100% = c/(1 + c)·100% = 33,33%

الإجابة

p = 33,33 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 47,42 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/151,8 = 9,879 N·m

عزم الخرج

T₂ = 9,879·72/15·1 = 47,42 N·m

الإجابة

T₂ = 47,42 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 300 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·15/45 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

الإجابة

n_r = 300 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 0,8051 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

الإجابة

L = 0,8051 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 0,294 J

التردد الزاوي

ω = √(120/1,5) = 8,944 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·120·0,07² = 0,294 J

الإجابة

E = 0,294 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 5,649 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(150000/100) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,4²) = 5,649 Hz

الإجابة

f_d = 5,649 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,628 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/12 → k_eq = 10·12/(10 + 12) = 5,455 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(5455/20) = 16,51 rad/s

f_n = 16,51/(2π) = 2,628 Hz

الإجابة

f_n = 2,628 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics