الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 3,25 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 1900 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 1,5 m/s² لمدة 7 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 18 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 18 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 19 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 19 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 6 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 40 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 31 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 50 m مائل بزاوية 8°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 50 mθ = 8°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 60 m مائل بزاوية 8°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 60 mθ = 8°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 90 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 0,5 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 0,5 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 10 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 29 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 7 kg إلى الأمام بسرعة 79 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 3 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 10 kgu = 29 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 79 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 15 g أفقيًا في كتلة مقدارها 4 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,5 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 40° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 15 gM = 4 kgL = 0,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 6 kg وطوله 2,7 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع a_tip الطرف الحر مباشرةً بعد تركه.

m = 6 kgL = 2,7 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 5,5 kg وطوله 0,7 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 50 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 540 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,43 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 5,5 kgL = 0,7 mm = 50 gv = 540 m/sd = 0,43 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 0,75 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 45 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 50 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 0,75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 96%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (72 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1450 rpm ويدير الترس B (80 سنًّا). الترس C (40 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 652,5 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1450 rpmA = 72B = 80C = 40n_out = 652,5 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 4 kg على نابض k = 120 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 6 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 2 cm من موضع الاتزان.

m = 4 kgk = 120 N/mA = 6 cmx = 2 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,3 kg على نابض k = 160 N/m تُسحب 2 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 2,3 kgk = 160 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 9,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 9,7 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 15 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 111,1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·1900) = 111,1 m/s

الإجابة

v = 111,1 m/s

(400,1 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: s = 239,5 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·1,5·7² = 36,75 m

s₂ = 10,5·18 = 189 m

s₃ = 10,5²/(2·4) = 13,78 m

المسافة الكلية

s = 36,75 + 189 + 13,78 = 239,5 m

الإجابة

s = 239,5 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,427 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

الإجابة

a = 4,427 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,065 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 14,71)/9,5 = 2,065 m/s²

الإجابة

a = 2,065 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 160,6 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 40° = 30,64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 40° = 25,71 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·25,71/9,81 = 5,242 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 30,64·5,242 = 160,6 m

الإجابة

x = 160,6 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,997 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 15° = 29,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 15° = 8,023 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 20 + 8,023·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,023 + √(64,37 + 392,4))/9,81 = 2,997 s

الإجابة

t = 2,997 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 8,303 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(50·9,81·tan 8°) = 8,303 m/s

الإجابة

v = 8,303 m/s

(29,89 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 4,851 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(60·9,81·0,04015/1,004) = 4,851 m/s

الإجابة

v_min = 4,851 m/s

(17,46 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 45,51 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 90/3,6 = 25 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,7·9,81) = 45,51 m

الإجابة

d = 45,51 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 11,35 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 4,905·(1,5 − 0,15·3) = 5,15 J

أقصى انضغاط

½kx² = 5,15 → x = √(2·5,15/800) = 0,1135 m = 11,35 cm

الإجابة

x = 11,35 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −87,67 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 10·29 = 290 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

290 = 7·79 + 3·v′₂

v′₂ = (290 − 553)/3 = −87,67 m/s

الإجابة

v′₂ = −87,67 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 405,5 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 40°) = 0,117 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,117) = 1,515 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 4,015·1,515/0,015 = 405,5 m/s

الإجابة

v = 405,5 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a_tip = 14,71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,7) = 5,45 rad/s²

تسارع الطرف الحر

a_tip = α·L = 5,45·2,7 = 14,71 m/s²

الإجابة

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g لأي طول: الطرف الحر يسقط أسرع من حجر مُسقَط.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 12,79 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 5,5·0,7²/3 + 0,05·0,43² = 0,9076 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,05·540·0,43/0,9076 = 12,79 rad/s

الإجابة

ω = 12,79 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 7,46 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

الإجابة

T₁ = 7,46 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1450·72/80 = 1305 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 40·1305/652,5 = 80

الإجابة

N_D = 80

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,3098 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(120/4) = 5,477 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 5,477·√(0,06² − 0,02²) = 0,3098 m/s

الإجابة

v = 0,3098 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,1668 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(160/2,3) = 8,341 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,02·8,341 = 0,1668 m/s

الإجابة

v_max = 0,1668 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,03012

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(25/9,7) = 0,1893

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012

الإجابة

ζ = 0,03012

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 6,892 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/15 → k_eq = 25·15/(25 + 15) = 9,375 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(9375/5) = 43,3 rad/s

f_n = 43,3/(2π) = 6,892 Hz

الإجابة

f_n = 6,892 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics