التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 5 mP₁ = 25 kN عند 1,5 mP₂ = 45 kN عند 3 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 4,5 m من A، مائلًا بزاوية 40° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 2,5 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.

L = 6 mP = 45 kN عند 4,5 m, θ = 40°Q = 40 kN عند 2,5 m

α = °

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_AC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓F: 10 kN →G: 30 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

20 kN @ 0 m30 kN @ 6 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 260 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 150 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 18 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 260 mmh = 150 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 15 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_الأسفل = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20,5 kN/m³طين: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5 m لها C_c = 0,35، و C_r = 0,03 و e₀ = 1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 45 kPa وضغط التصلّب المسبق 75 kPa. يضيف مبنى جديد 140 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 1σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 75 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 7,5 m معامل تصلّبها c_v = 1,5 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 90% يكون معامل الزمن T_v = 0,848. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 90%؟

H = 7,5 mc_v = 1,5 m²/السنةU = 90%T_v = 0,848تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,2 m/s في أنبوب أفقي طوله 800 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,2 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 100 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 10 L/s؟

Q = 10 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 3,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,4 m. معامل مانينغ n = 0,025 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 3,5 my = 1,4 mz = 2n = 0,025S = 0,004

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 3,5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 5,1 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,6 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 5,1 m³/sb = 3,5 my = 0,6 mz = 3n = 0,014

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 10 m. كفاءة المضخة 80% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 20 L/sH = 10 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 9 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €8 000 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. معدّل الفائدة 7% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €8 000i = 7%n = 4

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €10 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 7 سنوات بمعدّل 4,8% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €10 0004,8% / 12N = 84

I = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 اليوم ويعود بـ €5 000 في نهاية كل سنة لمدة 6 سنوات. تكلفة رأس المال 10%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 000CF₄ = 5 000CF₅ = 5 000CF₆ = 5 000

DPB = سنوات

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €5 500, €6 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 30,5 و 38 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 38

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 35,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 45·3

R_B = 172,5/5 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 34,5 = 35,5 kN

الإجابة

R_A = 35,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: α = 41,56 °

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

P_v = 45·sin 40° = 28,93 kN

P_h = 45·cos 40° = 34,47 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·6 = 28,93·4,5 + 40·2,5 → R_B = 38,36 kN

A_y = 28,93 + 40 − 38,36 = 30,56 kN

A_x = P_h = 34,47 kN

الاتجاه عند A

α = atan(A_y/A_x) = atan(30,56/34,47) = 41,56°

الإجابة

α = 41,56°

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 6 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0,4472 = −6,708 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−6,708)·0,8944 = 6 kN

الإجابة

F_AC = 6 kN (شدّ)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 33,33 kN (C), HE: 29,17 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 8,333 kN (T), HC: 29,17 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −1 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 8 − 2·4,5 = −1 kN

الإجابة

V_x = −1 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 37,5 kN, R₂ = 52,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −7,5, M_D = −5, M_E = −12,5, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −30 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 17,05 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 17,05 mm

الإجابة

δ = 17,05 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 22,5 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

الإجابة

R_B = 22,5 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 177,7 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1000² = 177653 N = 177,7 kN

الإجابة

P_cr = 177,7 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 1,919 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

الإجابة

σ_cr = 1,919 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 20,29 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 260·18 = 4680 mm², y₁ = 9 mm

الساقان: A₂ = 2·18·132 = 4752 mm², y₂ = 18 + 132/2 = 84 mm

المركز

ȳ = (4680·9 + 4752·84)/9432 = 46,79 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 260·18³/12 + 4680·(9 − 46,79)² = 6,808 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·18·132³/12 + 4752·(84 − 46,79)² = 1,348 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,808 × 10⁶ + 1,348 × 10⁷

I_x = 2,029 × 10⁷ mm⁴ = 20,29 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 20,29 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 66,13 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

الجذع: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·285 + 2800·140)/5800 = 215 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·10³/12 + 3000·(285 − 215)² = 1,472 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·280³/12 + 2800·(140 − 215)² = 3,404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,472 × 10⁷ + 3,404 × 10⁷ = 4,877 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 215 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·215/4,877 × 10⁷ = 66,13 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 66,13 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 19,62 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

الإجابة

u = 19,62 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 39,24 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

الإجابة

u = 39,24 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 359,7 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 45 + 140 = 185 kPa > 75 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,03·5/(1 + 1)·log₁₀(75/45) + 0,35·5/(1 + 1)·log₁₀(185/75)

S = 16,64 + 343,1 = 359,7 mm

الإجابة

S = 359,7 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 31,8 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 7,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·7,5²/1,5 = 31,8 سنوات

الإجابة

t = 31,8 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 36,79 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

الإجابة

F = 36,79 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 66,22 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

الإجابة

F = 66,22 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 425,9 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 43,42 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·43,42 = 425920 Pa = 425,9 kPa

الإجابة

Δp = 425,9 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 3,503 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 30 + 11,4)·0,08263 = 3,503 m

الإجابة

H = 3,503 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 20,85 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·1,4)·1,4 = 8,82 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 9,761 m

R = A/P = 0,9036 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,025)·0,9036^2/3·0,004^1/2 = 2,365 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 8,82·2,365 = 20,85 m³/s

الإجابة

Q = 20,85 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001525 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·0,6)·0,6 = 3,18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,6·√(1 + 3²) = 7,295 m

R = A/P = 0,4359 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·5,1/(3,18·0,5749) = 0,03905

S = 0,03905² = 0,001525

الإجابة

S = 0,001525

هذا انخفاض قدره 1,525 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 2,725 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·10 = 1,962 kW

قدرة العمود

P_shaft = 1,962/0,8 = 2,453 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 2,453/0,9 = 2,725 kW

الإجابة

P_el = 2,725 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 28,17 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3305 = 19,17 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 9 + 19,17 = 28,17 m

الإجابة

H = 28,17 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 27098 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7629)/0,07 = 3,387

القيمة الحالية

PV = 8 000·3,387 = €27 097,69

الإجابة

PV = €27 097,69

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 1794 €

الدفعة الشهرية

i = 0,004, N = 84

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁸⁴) = €140,40

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 84·140,4 − 10 000 = €1 793,70

الإجابة

I = €1 793,70

27.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 5,371 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 5 000/1,1 = 4 545,45 → Σ = 4 545,45

السنة 2: 5 000/1,21 = 4 132,23 → Σ = 8 677,69

السنة 3: 5 000/1,331 = 3 756,57 → Σ = 12 434,26

السنة 4: 5 000/1,464 = 3 415,07 → Σ = 15 849,33

السنة 5: 5 000/1,611 = 3 104,61 → Σ = 18 953,93

السنة 6: 5 000/1,772 = 2 822,37 → Σ = 21 776,30

كسر السنة الأخيرة

DPB = 5 + 1 046,07/2 822,37 = 5,371

الإجابة

DPB = 5,371 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (4 سنوات).

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 12,68 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 371,90

NPV(15%) = −302,46

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·371,90/(371,90 − (−302,46)) = 12,76%

بالضبط: NPV(12,68%) = 0 → IRR = 12,68%

الإجابة

IRR = 12,68%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,4401

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401

الإجابة

P = 0,4401

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 565,8 h

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

الإجابة

x = 565,8 h

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil