التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 8 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 8 mAC = 10 mP₁ = 60 kN عند 5 mP₂ = 60 kN عند 10 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 4 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 6 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 4 mAD = 10 mP = 15 kN عند 6 m

R_D = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kN

F_AB = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 40 kN ↓F: 40 kN →G: 30 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

60 kN @ 4 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد المسافة x₀ من A إلى المقطع الذي يكون عنده عزم الانحناء أكبر ما يمكن.

L = 6 mw = 8 kN/m من 0 إلى 5 m

x₀ = m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 3 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 8 mw = 5 kN/m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 130 mm وقطره الداخلي d = 106 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 130 mmd = 106 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 210 mm وسُمكها 12 mm، وعمق كلي 400 mm، وجذع سُمكه 8 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 80 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 210 mmH = 400 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 11 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 8 m لها C_c = 0,45، و C_r = 0,05 و e₀ = 1,2. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 90 kPa وضغط التصلّب المسبق 150 kPa. يضيف مبنى جديد 25 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 8 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 1,2σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 9,5 m معامل تصلّبها c_v = 3 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 50% يكون معامل الزمن T_v = 0,197. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

H = 9,5 mc_v = 3 m²/السنةU = 50%T_v = 0,197تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,3 m/s في أنبوب أفقي طوله 800 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,3 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 6 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 6 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة طوب عرضها 3 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,2 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,002. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 3 my = 2,2 mn = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة خرسانة غير مشطّبة عرضها 2,5 m يجب أن تنقل 6,3 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,8 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 6,3 m³/sb = 2,5 my = 0,8 mn = 0,014

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 16 m. كفاءة المضخة 70% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 92%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 30 L/sH = 16 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 13 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5p_tank = 100 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €8 000 بمعدل اسمي 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 6 سنوات.

PV = €8 0003,6% / 4n = 6

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €10 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات بمعدّل 4,8% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €10 0004,8% / 12N = 48

I = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم، وتعمل 10 سنوات وتكلّف €4 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 6%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €30 000M = €4 000n = 10r = 6%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €20 000 يعود بـ €3 000 في نهاية كل سنة لمدة 10 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €20 000CF = €3 000n = 10

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,7486. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7486

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 112,5 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·5 + 60·10

R_B = 900/8 = 112,5 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 60 + 60 − 112,5 = 7,5 kN

الإجابة

R_B = 112,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·6 = 15·2

R_D = 5 kN

V_C = 15 − 5 = 10 kN

الإجابة

R_D = 5 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −19,33 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,25 = 18,75 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,9701 = −19,33 kN

الإجابة

F_AB = −19,33 kN (ضغط)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 90 kN (T), BC: 86,67 kN (T), CD: 86,67 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 43,33 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 32,5 kN (T), BG: 4,167 kN (T), DG: 54,17 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 75 kN, R₂ = 45 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 138, M_C = 252 kN·m, M_D = 222, M_E = 168, M_F = 90, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 252 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x₀ = 2,917 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·5·2,5

R_B = 100/6 = 16,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 16,67 = 23,33 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 23,33/8 = 2,917 m

الإجابة

x₀ = 2,917 m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 10,32 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 3000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,175 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002381 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,32 mm

الإجابة

δ_B = 10,32 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 15 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

الإجابة

R_B = 15 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 992,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

الإجابة

P_cr = 992,2 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 35,25 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

الإجابة

σ_cr = 35,25 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 41,93 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 4448 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,823 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(7,823 × 10⁶/4448) = 41,93 mm

الإجابة

r = 41,93 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 66,79 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 400 − 2·12 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·400³ − 202·376³)/12

I_x = 2,252 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 200 − 12 = 188 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·188/2,252 × 10⁸ = 66,79 MPa

الإجابة

σ_j = 66,79 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 205,5 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 19,5·8 = 205,5 kPa

الإجابة

σ = 205,5 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 128,5 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·2 + 20·2 + 18,5·3 = 128,5 kPa

الإجابة

σ = 128,5 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 19,36 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 90 + 25 = 115 kPa ≤ 150 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·8/(1 + 1,2)·log₁₀(115/90) = 19,36 mm

الإجابة

S = 19,36 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 5,926 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 9,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·9,5²/3 = 5,926 سنوات

الإجابة

t = 5,926 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 58,86 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

الإجابة

F = 58,86 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,333 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·3 = 58,27 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,5625/(2,25·3) = 2,333 m

الإجابة

y_cp = 2,333 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 423,2 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,15)·2,3²/(2·9,81) = 43,14 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·43,14 = 423200 Pa = 423,2 kPa

الإجابة

Δp = 423,2 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 54,01 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

6 = (10 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/12,6) = 3,057 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 3,057·0,01767 = 0,05401 m³/s = 54,01 L/s

الإجابة

Q = 54,01 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 18,23 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 3·2,2 = 6,6 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,2 = 7,4 m

R = A/P = 0,8919 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,015)·0,8919^2/3·0,002^1/2 = 2,762 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 6,6·2,762 = 18,23 m³/s

الإجابة

Q = 18,23 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,005065 m/m

الهندسة

A = b·y = 2,5·0,8 = 2 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,8 = 4,1 m

R = A/P = 0,4878 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·6,3/(2·0,6197) = 0,07117

S = 0,07117² = 0,005065

الإجابة

S = 0,005065

هذا انخفاض قدره 5,065 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 7,312 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·16 = 4,709 kW

قدرة العمود

P_shaft = 4,709/0,7 = 6,727 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 6,727/0,92 = 7,312 kW

الإجابة

P_el = 7,312 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 28,48 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 5)·0,3305 = 5,288 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 10,19 + 5,288 = 28,48 m

الإجابة

H = 28,48 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 9919 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·6 = 24

القيمة المستقبلية

FV = 8 000·(1 + 0,009)²⁴ = 8 000·1,24 = €9 919,23

الإجابة

FV = €9 919,23

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 1011 €

الدفعة الشهرية

i = 0,004, N = 48

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁴⁸) = €229,39

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 48·229,4 − 10 000 = €1 010,63

الإجابة

I = €1 010,63

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 8076 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,06⁻¹⁰)/0,06 = 7,36

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

30 000/7,36 = 4 076,04

EAC

EAC = 4 076,04 + 4 000 = €8 076,04

الإجابة

EAC = €8 076,04

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 8,144 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/3 000 = 6,667

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 8%: 6,71

i = 9%: 6,418

IRR = 8,144%

الإجابة

IRR = 8,144%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −0,67

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,7486 = 0,2514

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,2514 داخل الجدول واقرأ z.

z = −0,67

الإجابة

z = −0,67

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 593,1 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

الإجابة

x = 593,05 h

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil