ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 2 mH = 2 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 3 mH = 2,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 26 kPaQ = ?

يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 200 mm وقطر حلقه 150 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 26 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.

d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 26 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
pair​ = 130 kPav = ?d = 50 mmh = 4,5 m

خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 130 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 50 mm، تقع 4,5 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد سرعة النفث v. استخدم g = 9,81 m/s².

pair = 130 kPa (مقيس)h = 4,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
Q = 2 L/sD = 50 mmL = 1000 mf = 0,022

يجري ماء بمعدل 2 L/s في أنبوب طوله 1000 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

Q = 2 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 2Δz = ?L = 400 m, D = 300 mm, f = 0,0183× كوع (K = 0,3)

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 100 L/s؟

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 40 L/sH = 54 m

مضخة كفاءتها 70% تدفع 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 54 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 40 L/sH = 54 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
PQ = 40 L/sΔz = 24 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,025, ΣK = 8

مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 24 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 75%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.

Q = 40 L/sΔz = 24 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 58,86 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
بوابةd = 2 mH = 2 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

الإجابة

F = 58,86 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 131,3 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
بوابةd = 3 mH = 2,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,25·2,5 = 131,3 kN

الإجابة

F = 131,3 kN
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: Q = 154,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

الاستمرارية

v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2

برنولي بين المدخل والحلق

الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·26000/(1000·(1 − 0,3164))) = 8,722 m/s
v1 = 4,906 m/s

معدّل التدفّق

Q = A2·v2 = 0,01767·8,722 = 0,1541 m³/s = 154,1 L/s

الإجابة

Q = 154,1 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: v = 18,66 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

برنولي من السطح إلى النفث

v = √(2·(130000/1000 + 9,81·4,5)) = 18,66 m/s

الإجابة

v = 18,66 m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 23,27 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 23,27 m

الإجابة

hf = 23,27 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 2,897 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

فاقد السمت الكلي

hf = 24·0,102 = 2,448 m
hm = 4,4·0,102 = 0,4488 m
Δz = hf + hm = 2,897 m

الإجابة

Δz = 2,897 m
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pshaft = 30,27 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·54 = 21,19 kW

قدرة العمود

Pshaft = Ph/η = 21,19/0,7 = 30,27 kW

الإجابة

Pshaft = 30,27 kW
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pshaft = 18,2 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 8)·0,2611 = 10,79 m

سمت المضخة

H = Δz + hL = 24 + 10,79 = 34,79 m

قدرة العمود

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·34,79/0,75 = 18,2 kW

الإجابة

Pshaft = 18,2 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics