ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية: A₁v₁ = A₂v₂
برنولي: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
معدّل التدفّق: Q = A·v
مساحة الدائرة: A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة

يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 150 mm إلى 100 mm. في الجزء الواسع الضغط 100 kPa والسرعة 1,25 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p₂ في الجزء الضيق.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.الاستمرارية وبرنوليصعبة

خرطوم قطره الداخلي 40 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 1 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 4 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق p_C عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −4 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 80 L/s في أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 80 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 120 L/s؟

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 20 m. كفاءة المضخة 82% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 15 L/sH = 20 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 16 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 40 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 275,9 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

الإجابة

F = 275,9 kN

2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 3,524 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·1,5 = 52,79 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,125/(3,5·1,5) = 3,524 m

الإجابة

y_cp = 3,524 m

3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p₂ = 96,83 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/100)² = 2,813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−3,174) = 96,83 kPa

الإجابة

p₂ = 96,83 kPa

4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p_C = 52,25 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

السرعة في الخرطوم

السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

برنولي من السطح إلى C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,859²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa

الإجابة

p_C = 52,25 kPa

إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.

5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 5,957 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 5,957 m

الإجابة

h_f = 5,957 m

6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 2,159 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

فاقد السمت الكلي

h_f = 10·0,1469 = 1,469 m

h_m = 4,7·0,1469 = 0,6904 m

Δz = h_f + h_m = 2,159 m

الإجابة

Δz = 2,159 m

7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 4,078 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·20 = 2,943 kW

قدرة العمود

P_shaft = 2,943/0,82 = 3,589 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 3,589/0,88 = 4,078 kW

الإجابة

P_el = 4,078 kW

8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 37,56 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0,2611 = 6,267 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 15,29 + 6,267 = 37,56 m

الإجابة

H = 37,56 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics