ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 1,5 mH = 2 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 1,5 mH = 1 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 160 kPa

يجري الماء بمعدّل 39 L/s في أنبوب أفقي يضيق من 150 mm إلى 75 mm. الضغط في المقطع الضيق 160 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد الضغط p1 في المقطع الواسع.

Q = 39 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 160 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
12d1​ = 100 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 100 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 1 m. في المقطع 1 الضغط 340 kPa والسرعة 3 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 340 kPav1 = 3 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
Q = 40 L/sD = 150 mmL = 200 mf = 0,025

يجري ماء بمعدل 40 L/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,025 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 10مخرج حرH = ?L = 300 m, D = 150 mm, f = 0,0154× كوع (K = 0,3)

أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 150 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 60 L/s؟

Q = 60 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 80 L/sH = 52 m

في اختبار، تدفع مضخة 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 52 m بينما يأخذ عمودها 56,7 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 80 L/sH = 52 mPshaft = 56,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
PQ = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,02, ΣK = 8

مضخة تنقل 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 11 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 70%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 49,05 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
بوابةd = 1,5 mH = 2 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

الإجابة

F = 49,05 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 58,86 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
بوابةd = 1,5 mH = 1 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

الإجابة

F = 58,86 kN
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p1 = 196,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

السرعات

v1 = Q/A1 = 0,039/0,01767 = 2,207 m/s
v2 = Q/A2 = 0,039/0,004418 = 8,828 m/s

برنولي

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 160 + ½·1000·(8,828² − 2,207²)/1000 = 160 + 36,53 = 196,5 kPa

الإجابة

p1 = 196,5 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p2 = 262,7 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/50)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−67,5) − 9,81 = 262,7 kPa

الإجابة

p2 = 262,7 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 8,705 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,264²/(2·9,81) = 0,2611 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,15)·2,264²/(2·9,81) = 8,705 m

الإجابة

hf = 8,705 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 25,09 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·300/0,15 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 30 + 11,7)·0,5876 = 25,09 m

الإجابة

H = 25,09 m
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 71,97 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·52 = 40,81 kW

الكفاءة

η = Ph/Pshaft = 40,81/56,7 = 71,97%

الإجابة

η = 71,97%
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pshaft = 6,766 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,1469 = 5,092 m

سمت المضخة

H = Δz + hL = 11 + 5,092 = 16,09 m

قدرة العمود

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·16,09/0,7 = 6,766 kW

الإجابة

Pshaft = 6,766 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics