القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
أنبوب بيتو استاتيكي في أنبوب ماء يقرأ فرقًا مقداره 10 kPa بين ضغط الركود والضغط الاستاتيكي. أوجد سرعة الماء v عند الطرف.
p0 − p = 10 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
مقياس فنتوري أفقي (المدخل 200 mm، الحلق 150 mm) ينقل الماء. مانومتر زئبقي على شكل U موصول بين المدخل والحلق يُظهر فرقًا في المستوى مقداره 360 mm. معامل التصريف 0,97. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم ρ = 1000 kg/m³ للماء، و 13 600 kg/m³ للزئبق، و g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 360 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بسرعة متوسطة 2 m/s في أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
V = 2 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,018) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 75 L/s؟
Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 60 m بينما يأخذ عمودها 55,4 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 80 L/sH = 60 mPshaft = 55,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 20 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 40 L/sΔz = 20 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 72%
Pshaft = kW
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 117,7 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
الإجابة
F = 117,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 2,042 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,08333/(2·1) = 2,042 m
الإجابة
ycp = 2,042 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 4,472 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي حتى نقطة الركود
يتوقّف الجريان عند الطرف، فتظهر طاقته الحركية ضغطًا إضافيًا.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·10000/1000) = 4,472 m/s
الإجابة
v = 4,472 m/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 195,6 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
فرق الضغط من المانومتر
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,36 = 44498 Pa
سرعة الحلق
الاستمرارية وبرنولي معًا يعطيان سرعة الحلق المثالية.
β = 150/200 = 0,75
v2 = √(2·44498/(1000·(1 − 0,3164))) = 11,41 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,01767·11,41 = 0,1956 m³/s = 195,6 L/s
الإجابة
Q = 195,6 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 17,13 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
سمت السرعة
V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,05)·2²/(2·9,81) = 17,13 m
الإجابة
hf = 17,13 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 1,737 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 7,2 + 6,4)·0,119 = 1,737 m
الإجابة
H = 1,737 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 85 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·60 = 47,09 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 47,09/55,4 = 85%
الإجابة
η = 85%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 13,75 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,2611 = 5,223 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 20 + 5,223 = 25,22 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·25,22/0,72 = 13,75 kW
الإجابة
Pshaft = 13,75 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics