التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 250 mm من ألواح الجبس و 150 mm من الطوب، ومساحته 12 m². الوجهان الخارجيان عند 22 °C و 7 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 200 mm الخشب و 150 mm ألواح الجبس يفصل غرفة عند 21 °C عن الهواء الخارجي عند -8 °C. معاملا الحمل 6 W/(m²·K) في الداخل و 30 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 4 m². أوجد الفقد الحراري Q̇ عبر الجدار.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
مبادل حراري متعاكس الجريان ينقل 270 kW. مساحة انتقال الحرارة فيه 20 m². يبرد المائع الساخن من 90 إلى 55 °C ويسخن المائع البارد من 30 إلى 75 °C. أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U.
Q̇ = 270 kWA = 20 m²Th: 90 → 55 °CTc: 30 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 120 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 5 m² و U = 1000 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (0,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 25 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.
Ts = 120 °CA = 5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = 8,861 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·12) = 0,1225 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,1399 = 107,2 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 107,2·0,1225 = 8,861 °C
الإجابة
Ti = 8,861 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: Q̇ = 51,35 W
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,5647 K/W
الفقد الحراري
Q̇ = (21 − (-8))/0,5647 = 51,35 W
الإجابة
Q̇ = 51,35 W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: U = 689,6 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 75 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 25)/ln(15/25) = 19,58 K
المعامل الكلي
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 270000/(20·19,58) = 689,6 W/(m²·K)
الإجابة
U = 689,6 W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: Tc,out = 111,3 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل
مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·5/(0,5·4180) = 2,392
درجة حرارة الخروج
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 95·0,09142 = 8,684 K
Tc,out = 120 − 8,684 = 111,3 °C
الإجابة
Tc,out = 111,3 °C
الحرارة المنقولة: Q̇ = 180,4 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer