انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوصيل الحراري

قانون فورييه
Q̇ = kAΔT/L
مقاومة التوصيل الحراري
R = L/(kA)
مقاومة الحمل الحراري
R = 1/(hA)
مقاومات على التوالي
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
قيمة U
U = 1/(ΣR·A)

المبادلات الحرارية (LMTD)

معدّل انتقال الحرارة
Q = U·A·ΔTlm
متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
موازنة التيارات
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2مسائل تدريبية

1.التوصيل الحراريمتوسطة
الخشب, k = 0,1750 mmالخرسانة, k = 1,425 mm18 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

جدار مكوّن من 50 mm من الخشب و 25 mm من الخرسانة، ومساحته 8 m². الوجهان الخارجيان عند 18 °C و -4 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
ألواح الجبس, k = 0,17150 mmالخرسانة, k = 1,475 mmالغرفة 20 °Cالخارج -4 °CQ̇ = ?

جدار من 150 mm ألواح الجبس و 75 mm الخرسانة يفصل غرفة عند 20 °C عن الهواء الخارجي عند -4 °C. معاملا الحمل 7,7 W/(m²·K) في الداخل و 30 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 4 m². أوجد الفقد الحراري Q̇ عبر الجدار.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
الطولT120 °C70 °C20 °C50 °CΔT₁ΔT₂جريان متوازٍ

مبادل حراري متوازي الجريان ينقل 70 kW. مساحة انتقال الحرارة فيه 15 m². يبرد المائع الساخن من 120 إلى 70 °C ويسخن المائع البارد من 20 إلى 50 °C. أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U.

Q̇ = 70 kWA = 15 m²Th: 120 → 70 °CTc: 20 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
الطولT165 °C130 °C26,42 °C20 °CΔT₁ΔT₂جريان متعاكس

يبرد زيت ساخن (0,5 kg/s، cp = 2,3 kJ/(kg·K)) من 165 إلى 130 °C في مبادل متعاكس الجريان. وهو يسخّن 1,5 kg/s من الماء (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الداخل عند 20 °C. مع U = 200 W/(m²·K)، أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 165 → 130 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3المحاليل

1.التوصيل الحراري

الإجابة: Ti = −2,741 °C

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات الطبقات

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W

التدفّق الحراري

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,039 = 564,1 W

درجة حرارة السطح الفاصل

تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 564,1·0,03676 = −2,741 °C

الإجابة

Ti = −2,741 °C
2.التوصيل الحراري

الإجابة: Q̇ = 87,34 W

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات على التوالي

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·4) = 0,01339 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2748 K/W

الفقد الحراري

Q̇ = (20 − (-4))/0,2748 = 87,34 W

الإجابة

Q̇ = 87,34 W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: U = 93,88 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 50 = 20 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 20)/ln(100/20) = 49,71 K

المعامل الكلي

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 70000/(15·49,71) = 93,88 W/(m²·K)

الإجابة

U = 93,88 W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: A = 1,626 m²

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

الحمل الحراري ودرجة حرارة الماء الخارج

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·35 = 40,25 kW
Tc,out = 20 + 40,25/(1,5·4,18) = 26,42 °C

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 26,42 = 138,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 20 = 110 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (138,6 − 110)/ln(138,6/110) = 123,7 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40250/(200·123,7) = 1,626 m²

الإجابة

A = 1,626 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer