انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوصيل الحراري

قانون فورييه
Q̇ = kAΔT/L
مقاومة التوصيل الحراري
R = L/(kA)
مقاومة الحمل الحراري
R = 1/(hA)
مقاومات على التوالي
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
قيمة U
U = 1/(ΣR·A)

المبادلات الحرارية (LMTD)

معدّل انتقال الحرارة
Q = U·A·ΔTlm
متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
موازنة التيارات
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2مسائل تدريبية

1.التوصيل الحراريمتوسطة
الزجاج, k = 0,96100 mmالصوف المعدني, k = 0,04150 mm23 °C10 °CTi​ = ?Q̇

جدار مكوّن من 100 mm من الزجاج و 150 mm من الصوف المعدني، ومساحته 4 m². الوجهان الخارجيان عند 23 °C و 10 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
الطوب, k = 0,7250 mmالصوف المعدني, k = 0,0450 mmالغرفة 20 °Cالخارج -11 °CQ̇

جدار من 50 mm الطوب و 50 mm الصوف المعدني يفصل غرفة عند 20 °C عن الهواء الخارجي عند -11 °C. معاملا الحمل 7,7 W/(m²·K) في الداخل و 20 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 15 m². أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U للجدار.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
الطولT100 °C75 °C90 °C30 °CΔT₁ΔT₂جريان متعاكس

ينقل مبادل حراري متعاكس الجريان 300 kW. يبرد المائع الساخن من 100 إلى 75 °C ويسخن المائع البارد من 30 إلى 90 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 1000 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

Q̇ = 300 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 100 → 75 °CTc: 30 → 90 °C
A = m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
الطولT105 °C75 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂جريان متوازٍ

في مبادل حراري مزدوج الأنبوب متوازي الجريان، يجري زيت ساخن (0,2 kg/s، cp = 2,5 kJ/(kg·K)) في الأنبوب الداخلي ويبرد من 105 إلى 75 °C. يدخل الماء (0,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) في الحيّز الحلقي عند 15 °C. قطر الأنبوب الداخلي 50 mm، و U = 150 W/(m²·K) مبني على هذا القطر. أوجد طول الأنبوب المطلوب L.

ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3المحاليل

1.التوصيل الحراري

الإجابة: Ti = 22,65 °C

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات الطبقات

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W

التدفّق الحراري

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,9635 = 13,49 W

درجة حرارة السطح الفاصل

تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 13,49·0,02604 = 22,65 °C

الإجابة

Ti = 22,65 °C
2.التوصيل الحراري

الإجابة: U = 0,667 W/(m²·K)

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات على التوالي

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,09995 K/W

المعامل الكلي

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,09995) = 0,667 W/(m²·K)

الإجابة

U = 0,667 W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: A = 12,89 m²

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 90 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 45)/ln(10/45) = 23,27 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 300000/(1000·23,27) = 12,89 m²

الإجابة

A = 12,89 m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: L = 9,125 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

الحمل الحراري ودرجة حرارة الماء الخارج

Q̇ = 0,2·2,5·(105 − 75) = 15 kW
Tc,out = 15 + 15/(0,5·4,18) = 22,18 °C

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 22,18 = 52,82 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 52,82)/ln(90/52,82) = 69,77 K

المساحة والطول

A = 15000/(150·69,77) = 1,433 m²
L = A/(πD) = 1,433/(π·0,05) = 9,125 m

الإجابة

L = 9,125 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer