التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 250 mm من الخرسانة و 25 mm من الزجاج، ومساحته 12 m². الوجهان الخارجيان عند 17 °C و -3 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 17 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 150 mm الطوب و 25 mm الزجاج يفصل غرفة عند 22 °C عن الهواء الخارجي عند -6 °C. معاملا الحمل 10 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 8 m². أوجد درجة حرارة Ts السطح الداخلي للجدار.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
مبادل حراري متعاكس الجريان ينقل 130 kW. مساحة انتقال الحرارة فيه 5 m². يبرد المائع الساخن من 165 إلى 130 °C ويسخن المائع البارد من 15 إلى 35 °C. أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U.
Q̇ = 130 kWA = 5 m²Th: 165 → 130 °CTc: 15 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
في مبادل حراري متعاكس الجريان للتيارين معدّل السعة الحرارية نفسه، ṁ·cp = 1 kW/K. يدخل التيار الساخن عند 145 °C والتيار البارد عند 25 °C. للمبادل A = 4 m² و U = 300 W/(m²·K). أوجد درجة حرارة الساخن الخارج Th,out.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 25 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = −0,4545 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,01705 = 1173 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 1173·0,01488 = −0,4545 °C
الإجابة
Ti = −0,4545 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: Ts = 14,52 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·8) = 0,003255 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,0468 K/W
الفقد الحراري
Q̇ = (22 − (-6))/0,0468 = 598,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 598,3·0,0125 = 14,52 °C
الإجابة
Ts = 14,52 °C
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: U = 212,5 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 35 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 115)/ln(130/115) = 122,3 K
المعامل الكلي
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 130000/(5·122,3) = 212,5 W/(m²·K)
الإجابة
U = 212,5 W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: Th,out = 79,55 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
فرق درجة حرارة ثابت
مخرج البارد يقابل مدخل الساخن: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)، لذا ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
موازنة الطاقة تساوي معادلة المعدّل
1·(145 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 25)
Th,out = (1·145 + 1,2·25)/(1 + 1,2) = 79,55 °C
الإجابة
Th,out = 79,55 °C
الحرارة المنقولة: Q̇ = 65,45 kW؛ ويخرج التيار البارد عند 90,45 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer