الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €5 000 بمعدل اسمي 6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 3 سنوات.

PV = €5 0006% / 4n = 3

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €5 000 بمعدّل 6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €75 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €5 000A = €756% / 12

N = دفعات

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 5% ويستحق بعد 10 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 5,5% إلى 7%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 5%n = 10y₁ = 5,5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4% ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 3YTM = 9%

D = سنوات

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €8 000 000 وديون قيمتها €4 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لأسهم شركة معامل بيتا قدره 0,9 عند نسبة دينها إلى حقوق ملكيتها الحالية 0,4. تخطّط لرفع نسبة الدين إلى حقوق الملكية إلى 1,5. معدّل الضريبة 28%، والمعدّل الخالي من المخاطر 2%، وعلاوة مخاطر السوق 4,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e بعد التغيير.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,5T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €20 000 اليوم، وتعمل 8 سنوات وتكلّف €3 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 6%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €20 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €6 000, €5 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 5978 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·3 = 12

القيمة المستقبلية

FV = 5 000·(1 + 0,015)¹² = 5 000·1,196 = €5 978,09

الإجابة

FV = €5 978,09

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 82 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,005/75 = 0,6667

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,6667)/ln(1,005) = 81,3

قرّب إلى دفعات كاملة

81 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 82

الإجابة

N = 82 دفعات

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = −102,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €50,00, i = 0,055, N = 10

€50,00·(1 − 0,5854)/0,055 + €1 000·0,5854 = €376,88 + €585,43 = €962,31

السعر عند العائد الجديد

C = €50,00, i = 0,07, N = 10

€50,00·(1 − 0,5083)/0,07 + €1 000·0,5083 = €351,18 + €508,35 = €859,53

التغيّر

ΔP = 859,53 − 962,31 = −€102,78

الإجابة

ΔP = −€102,78

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 2,877 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 40/1,09 = 36,70, t·PV = 36,70

t = 2: 40/1,188 = 33,67, t·PV = 67,33

t = 3: 1040/1,295 = 803,07, t·PV = 2 409,21

المدة

P = 873,44

D = 2 513,24/873,44 = 2,877

الإجابة

D = 2,877 سنوات

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·4%·(1 − 0,25) = 9%

الإجابة

WACC = 9%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 8,54 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

أزل أثر الرافعة من معامل بيتا

β_U = 0,9/(1 + 0,72·0,4) = 0,6988

أعد تطبيق الرافعة عند D/E الجديدة

β_L = 0,6988·(1 + 0,72·1,5) = 1,453

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,453·4,5% = 8,54%

الإجابة

r_e = 8,54%

7.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 6221 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

20 000/6,21 = 3 220,72

EAC

EAC = 3 220,72 + 3 000 = €6 220,72

الإجابة

EAC = €6 220,72

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 10 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 702,95

NPV(10%) = −0,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·702,95/(702,95 − (−0,00)) = 10%

بالضبط: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%

الإجابة

IRR = 10%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation