الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€10 000

تحتاج إلى €10 000 بعد 9 سنوات. يدفع حساب 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 9
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…108€50€50€50FV = ?

تدّخر €50 في نهاية كل شهر لمدة 9 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €505,4% / 12N = 108
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات0123…10€838C = ?C = ?C = ? + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 10 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €838 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 10P = €838YTM = 4%
c = %
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…8€1 060€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 8 سنوات ويُباع بسعر €1 060. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 8P = €1 060
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?الأسهم العادية€8 000 000re​ = 10%الأسهم الممتازة€1 500 000rp​ = 7,5%الدين€3 000 000rd​ = 4%T = 25,8%

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €8 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €3 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الأسهم الممتازة 7,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%. معدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

E = €8 000 000Ps = €1 500 000D = €3 000 000re = 10%rp = 7,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 1,5%, rm​ − rf​ = 5,5%D/E = 0,4حقوق الملكيةβL​ = 1الدينD/E = 0,75حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 25%

لأسهم شركة معامل بيتا قدره 1 عند نسبة دينها إلى حقوق ملكيتها الحالية 0,4. تخطّط لرفع نسبة الدين إلى حقوق الملكية إلى 0,75. معدّل الضريبة 25%، والمعدّل الخالي من المخاطر 1,5%، وعلاوة مخاطر السوق 5,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re بعد التغيير.

βL = 1D/E1 = 0,4D/E2 = 0,75T = 25%rf = 1,5%rm − rf = 5,5%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−80 00030 00030 00038 000

تبلغ تكلفة آلة €80 000 اليوم. تولّد €30 000 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €8 000. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €80 000CF = €30 000S = €8 000n = 3r = 8%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…8−25 0004 5004 5004 5004 500

استثمار قدره €25 000 يعود بـ €4 500 في نهاية كل سنة لمدة 8 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €25 000CF = €4 500n = 8
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 7243 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·9 = 36

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,381 = €7 242,99

الإجابة

PV = €7 242,99
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 6934 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·9 = 108

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1,624 − 1)/0,0045 = €6 933,65

الإجابة

FV = €6 933,65

دفعتَ بنفسك €5 400؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 2,003 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,04)−10 = €675,56

الكوبون

C = (838 − 675,56)/8,111 = €20,03

معدل الكوبون

c = 20,03/1000 = 2,003%

الإجابة

c = 2,003%
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 6,995 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

الحل العددي

P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,995%

الإجابة

YTM = 6,995%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,012 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €12 500 000
E/V = 0,64, Ps/V = 0,12, D/V = 0,24

WACC

WACC = 0,64·10% + 0,12·7,5% + 0,24·4%·(1 − 0,258) = 8,012%

الإجابة

WACC = 8,012%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 8,111 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

أزل أثر الرافعة من معامل بيتا

βU = 1/(1 + 0,75·0,4) = 0,7692

أعد تطبيق الرافعة عند D/E الجديدة

βL = 0,7692·(1 + 0,75·0,75) = 1,202

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 1,5% + 1,202·5,5% = 8,111%

الإجابة

re = 8,111%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 3664 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

30 000·2,577 = 77 312,91

القيمة الحالية لقيمة الخردة

8 000/1,26 = 6 350,66

NPV

NPV = −80 000 + 77 312,91 + 6 350,66 = €3 663,57

الإجابة

NPV = €3 663,57
8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 8,899 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−8)/i = 25 000/4 500 = 5,556

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 8%: 5,747
i = 9%: 5,535
IRR = 8,899%

الإجابة

IRR = 8,899%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation