الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €1 000 بمعدّل 8% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 4 سنوات.

PV = €1 000r = 8%t = 4

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €300 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 5؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €300 0005,4% / 12N = 240k = 60

B = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 5%n = 7

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند متبقٍّ على استحقاقه 11 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 8%) يُباع بسعر €1 158. يستطيع المُصدِر استدعاءه بعد 4 سنوات بسعر استدعاء €1 080. أوجد العائد حتى الاستدعاء YTC بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%P = €1 158سعر الاستدعاء = €1 080الاستدعاء بعد 4 سنوات

YTC = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €5 000 000 ودين قيمته €2 000 000. WACC لديها 7,11%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 3%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 7,11%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €20,50 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 020. تكلفة الدين قبل الضريبة 4% ومعدل الضريبة 25,8%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 7,5%. أوجد WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €14 000, €16 000, €17 000, €22 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 16 000CF₃ = 17 000CF₄ = 22 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €10 000 ويعود بـ €6 000, €4 000, €2 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €15 000 ويعود بـ €4 000, €6 000, €8 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 000, 8 500

r* = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 1377 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,08·4 = 0,32

e^0,32 = 1,377

القيمة المستقبلية

FV = 1 000·1,377 = €1 377,13

الإجابة

FV = €1 377,13

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 252130 €

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 240

A = 300 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €2 046,75

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 240 − 60 = 180

B = 2047·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁸⁰)/0,0045 = €252 129,65

الإجابة

B = €252 129,65

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1175 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €40,00, i = 0,025, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€40,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €467,64

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,7077 = €707,73

السعر

P = €1 175,36

الإجابة

P = €1 175,36

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTC = 5,354 %

معادلة العائد

1158 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

الحل العددي

y = 5%: €1 172,19

y = 6%: €1 132,67

YTC = 5,354%

الإجابة

YTC = 5,354%

العائد حتى الاستحقاق 5,997%. يتوقّع المستثمرون في سند بعلاوة أن يُستدعى، لذا العائد حتى الاستدعاء الأدنى هو الأكثر واقعية.

5.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 9,006 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

جزء الدين من WACC

0,2857·3%·(1 − 0,21) = 0,6771%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (7,11% − 0,6771%)/0,7143 = 9,006%

الإجابة

r_e = 9,006%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,977 %

القيم السوقية

E = 2 000 000·€20,50 = €41 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·5,5% = 8,6%

الأوزان

V = €46 100 000, E/V = 0,8894, D/V = 0,1106

WACC

WACC = 0,8894·8,6% + 0,1106·4%·(1 − 0,258) = 7,977%

الإجابة

WACC = 7,977%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 8749 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 14 000/1,1 = 12 727,27

CF₂/(1 + 0,1)² = 16 000/1,21 = 13 223,14

CF₃/(1 + 0,1)³ = 17 000/1,331 = 12 772,35

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 22 000/1,464 = 15 026,30

اجمعها

NPV = €8 749,06

الإجابة

NPV = €8 749,06

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: r* = 8,144 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 500 − 2 000 = 6 500

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(8%) = 22,74

NPV_Δ(9%) = −132,31

r* = 8,144%

الإجابة

r* = 8,144%

تحقّق: عند 8,144% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €549,66.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation