الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…9PV = ?€12 000+4%+4%…r = 8%

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €12 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 4% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 8% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C1 = €12 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
سنوات0123…30€2 500€2 500€2 500FV = ?

تودع €2 500 في بداية كل سنة لمدة 30 سنوات، والإيداع الأول اليوم. يدفع الحساب 5% سنويًا. كم سيكون في الحساب في نهاية السنة 30؟ أوجد FV.

A = €2 500i = 5%n = 30
FV = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات0123…14P€80€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 8% ويستحق بعد 14 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 6% إلى 4,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 8%n = 14y1 = 6%y2 = 4,5%
ΔP = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…9€905€60€60 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 9 سنوات ويُباع بسعر €905. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 9P = €905
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
βr (%)SMLrf​ = 2,5%β = 1rm​ = ?β = 1,5re​ = 9,25%

سهم معامل بيتا له 1,5 وعائده المطلوب 9,25%. المعدّل الخالي من المخاطر 2,5%. ما عائد السوق المتوقّع rm الذي يقتضيه CAPM؟

β = 1,5re = 9,25%rf = 2,5%
rm = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية2 500 000 × €54,50β = 0,9rf​ = 4%, rm​ = 9,5%الدين20 000 × €980rd​ = 7%T = 30%

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €54,50 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €980. تكلفة الدين قبل الضريبة 7% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 0,9، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 9,5%. أوجد WACC.

β = 0,9rf = 4%rm = 9,5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−30 0009 00011 00014 000

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €9 000, €11 000, €14 000. تكلفة رأس المال 9%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 9 000CF2 = 11 000CF3 = 14 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات01234−25 00013 5009 0009 0009 000

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €13 500, €9 000, €9 000, €9 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 9 000CF3 = 9 000CF4 = 9 000
MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 300000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C1/(r − g) = 12 000/(0,08 − 0,04) = 12 000/0,04 = €300 000,00

الإجابة

PV = €300 000,00
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 174402 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات العادية

((1 + 0,05)30 − 1)/0,05 = 66,44

سلسلة الدفعات المقدَّمة

كل إيداع يُستثمر سنة أطول.

FV = 2 500·66,44·1,05 = €174 401,97

الإجابة

FV = €174 401,97
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 171,9 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €80,00, i = 0,06, N = 14
€80,00·(1 − 0,4423)/0,06 + €1 000·0,4423 = €743,60 + €442,30 = €1 185,90

السعر عند العائد الجديد

C = €80,00, i = 0,045, N = 14
€80,00·(1 − 0,54)/0,045 + €1 000·0,54 = €817,83 + €539,97 = €1 357,80

التغيّر

ΔP = 1 357,80 − 1 185,90 = €171,90

الإجابة

ΔP = €171,90
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 7,489 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€905 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

الحل العددي

P(7%) = €934,85, P(8%) = €875,06
YTM = 7,489%

الإجابة

YTM = 7,489%
5.CAPM و WACC

الإجابة: rm = 7 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

rm − rf = (9,25% − 2,5%)/1,5 = 4,5%

عائد السوق

rm = 2,5% + 4,5% = 7%

الإجابة

rm = 7%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,441 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 2 500 000·€54,50 = €136 250 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 0,9·5,5% = 8,95%

الأوزان

V = €155 850 000, E/V = 0,8742, D/V = 0,1258

WACC

WACC = 0,8742·8,95% + 0,1258·7%·(1 − 0,3) = 8,441%

الإجابة

WACC = 8,441%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −1674 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 9 000/1,09 = 8 256,88
CF2/(1 + 0,09)2 = 11 000/1,188 = 9 258,48
CF3/(1 + 0,09)3 = 14 000/1,295 = 10 810,57

اجمعها

NPV = €−1 674,07

الإجابة

NPV = €−1 674,07

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 18,52 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

13 500·1,123 = 18 966,53
9 000·1,122 = 11 289,60
9 000·1,121 = 10 080,00
9 000·1,120 = 9 000,00
TV = 49 336,13

MIRR

MIRR = (49 336,13/25 000)1/4 − 1 = 18,52%

الإجابة

MIRR = 18,52%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation