الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 8 سنوات.

PV = €12 0004% / 4n = 8

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تودع €2 500 في بداية كل سنة لمدة 28 سنوات، والإيداع الأول اليوم. يدفع الحساب 5% سنويًا. كم سيكون في الحساب في نهاية السنة 28؟ أوجد FV.

A = €2 500i = 5%n = 28

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 12 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 3,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 7%YTM = 3,5%n = 12

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند متبقٍّ على استحقاقه 19 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%) يُباع بسعر €1 315. يستطيع المُصدِر استدعاءه بعد 6 سنوات بسعر استدعاء €1 070. أوجد العائد حتى الاستدعاء YTC بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%P = €1 315سعر الاستدعاء = €1 070الاستدعاء بعد 6 سنوات

YTC = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4,5%. معدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €50,50؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €40 400 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €2,30 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 5% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €80 800 000 وتكلفته قبل الضريبة 4,5%. معدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 2 000 000P₀ = €50,50حقوق الملكية الدفترية = €40 400 000D₀ = €2,30g = 5%D = €80 800 000r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €30 000 اليوم ويعود بـ €10 000 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €15 500, €20 500, €13 500, €12 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 6%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 20 500CF₃ = 13 500CF₄ = 12 500

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 16499 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,01)³² = 12 000·1,375 = €16 499,29

الإجابة

FV = €16 499,29

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 153307 €

معامل سلسلة الدفعات العادية

((1 + 0,05)²⁸ − 1)/0,05 = 58,4

سلسلة الدفعات المقدَّمة

كل إيداع يُستثمر سنة أطول.

FV = 2 500·58,4·1,05 = €153 306,78

الإجابة

FV = €153 306,78

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1341 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €35,00, i = 0,0175, N = 24

القيمة الحالية للكوبونات

€35,00·(1 − 0,6594)/0,0175 = €681,12

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6594 = €659,44

السعر

P = €1 340,56

الإجابة

P = €1 340,56

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTC = 2,399 %

معادلة العائد

1315 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

الحل العددي

y = 2%: €1 342,23

y = 3%: €1 275,31

YTC = 2,399%

الإجابة

YTC = 2,399%

العائد حتى الاستحقاق 4,499%. يتوقّع المستثمرون في سند بعلاوة أن يُستدعى، لذا العائد حتى الاستدعاء الأدنى هو الأكثر واقعية.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,582 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €18 500 000

E/V = 0,6486, P_s/V = 0,08108, D/V = 0,2703

WACC

WACC = 0,6486·11% + 0,08108·6% + 0,2703·4,5%·(1 − 0,21) = 8,582%

الإجابة

WACC = 8,582%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,919 %

تكلفة حقوق الملكية

D₁ = 2,3·1,05 = €2,42

r_e = 2,415/50,5 + 0,05 = 9,782%

القيم السوقية

E = 2 000 000·€50,50 = €101 000 000

V = €181 800 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·9,782% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,258) = 6,919%

الإجابة

WACC = 6,919%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,575 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 10 000/1,08 = 9 259,26 → Σ = 9 259,26

السنة 2: 10 000/1,166 = 8 573,39 → Σ = 17 832,65

السنة 3: 10 000/1,26 = 7 938,32 → Σ = 25 770,97

السنة 4: 10 000/1,36 = 7 350,30 → Σ = 33 121,27

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 4 229,03/7 350,30 = 3,575

الإجابة

DPB = 3,575 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (3 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 14,31 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

15 500·1,06³ = 18 460,75

20 500·1,06² = 23 033,80

13 500·1,06¹ = 14 310,00

12 500·1,06⁰ = 12 500,00

TV = 68 304,55

MIRR

MIRR = (68 304,55/40 000)^1/4 − 1 = 14,31%

الإجابة

MIRR = 14,31%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation