الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…10€2 000FV = ?

تستثمر €2 000 بمعدّل 4% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 10 سنوات.

PV = €2 000r = 4%t = 10
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…144A?AA€20 000

تريد €20 000 بعد 12 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €20 0003% / 12N = 144
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
سنوات01234567P€40€40€40 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4% ويستحق بعد 7 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 3% إلى 2,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 4%n = 7y1 = 3%y2 = 2,5%
ΔP = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…9€1 110€60€60 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 9 سنوات ويُباع بسعر €1 110. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 9P = €1 110
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
βr (%)SMLrf​ = 1%β = 1rm​ = ?β = 0,8re​ = 5,8%

سهم معامل بيتا له 0,8 وعائده المطلوب 5,8%. المعدّل الخالي من المخاطر 1%. ما عائد السوق المتوقّع rm الذي يقتضيه CAPM؟

β = 0,8re = 5,8%rf = 1%
rm = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية2 500 000 × €9,00β = 0,8rf​ = 3%, rm​ = 9%الدين40 000 × €1 050rd​ = 7%T = 20%

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €9,00 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 7% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 0,8، والمعدل الخالي من المخاطر 3%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 0,8rf = 3%rm = 9%rd = 7%T = 20%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…9−100 0009 000+1%+1%…r = 12%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €100 000 اليوم. يولّد €9 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 1% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 1%r = 12%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123−40 00017 00018 50017 000

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €17 000, €18 500, €17 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −40 000CF1 = 17 000CF2 = 18 500CF3 = 17 000
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2984 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,04·10 = 0,4
e0,4 = 1,492

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·1,492 = €2 983,65

الإجابة

FV = €2 983,65
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 115,6 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·12 = 144

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 20 000·0,0025/(1,433 − 1) = €115,56

الإجابة

A = €115,56
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 32,94 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €40,00, i = 0,03, N = 7
€40,00·(1 − 0,8131)/0,03 + €1 000·0,8131 = €249,21 + €813,09 = €1 062,30

السعر عند العائد الجديد

C = €40,00, i = 0,025, N = 7
€40,00·(1 − 0,8413)/0,025 + €1 000·0,8413 = €253,98 + €841,27 = €1 095,24

التغيّر

ΔP = 1 095,24 − 1 062,30 = €32,94

الإجابة

ΔP = €32,94
4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 4,488 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

الحل العددي

P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08
YTM = 4,488%

الإجابة

YTM = 4,488%
5.CAPM و WACC

الإجابة: rm = 7 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

rm − rf = (5,8% − 1%)/0,8 = 6%

عائد السوق

rm = 1% + 6% = 7%

الإجابة

rm = 7%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,367 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 2 500 000·€9,00 = €22 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 3% + 0,8·6% = 7,8%

الأوزان

V = €64 500 000, E/V = 0,3488, D/V = 0,6512

WACC

WACC = 0,3488·7,8% + 0,6512·7%·(1 − 0,2) = 6,367%

الإجابة

WACC = 6,367%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −18182 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 9 000/(0,12 − 0,01) = 81 818,18

NPV

NPV = 81 818,18 − 100 000 = −€18 181,82

الإجابة

NPV = −€18 181,82

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 14,92 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 3 516,15
NPV(15%) = −50,96

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·3 516,15/(3 516,15 − (−50,96)) = 14,93%
بالضبط: NPV(14,92%) = 0 → IRR = 14,92%

الإجابة

IRR = 14,92%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation