الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €10 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 2% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 7% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €10 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €15 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات. معدل الفائدة 6% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €15 0006% / 12N = 48

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 8 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 2,5%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%n = 8y₀ = 2,5%y₁ = 4%

HPR = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 4% يستحق بعد 4 سنوات ويُباع بسعر €915. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 4P = €915

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €4 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €500 000، ودين قيمته €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €4 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 6,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €33,00 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 1,5، والمعدل الخالي من المخاطر 2,5%، وعائد السوق 9,5%. أوجد WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €80 000 اليوم، وتعمل 6 سنوات وتكلّف €1 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 8%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €80 000M = €1 000n = 6r = 8%

EAC = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €12 000, €10 000, €10 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 200000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,07 − 0,02) = 10 000/0,05 = €200 000,00

الإجابة

PV = €200 000,00

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 352,3 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,7871

A = 15 000·0,005/(1 − 0,7871) = €352,28

الإجابة

A = €352,28

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = −5,871 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €50,00, i = 0,025, N = 8

€50,00·(1 − 0,8207)/0,025 + €1 000·0,8207 = €358,51 + €820,75 = €1 179,25

سعر البيع

C = €50,00, i = 0,04, N = 7

€50,00·(1 − 0,7599)/0,04 + €1 000·0,7599 = €300,10 + €759,92 = €1 060,02

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (50 + 1 060,02 − 1 179,25)/1 179,25 = −5,871%

الإجابة

HPR = −5,871%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 6,48 %

معادلة العائد

€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

الحل العددي

P(6%) = €930,70, P(7%) = €898,38

YTM = 6,48%

الإجابة

YTM = 6,48%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,383 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 4 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €6 500 000

E/V = 0,6154, P_s/V = 0,07692, D/V = 0,3077

WACC

WACC = 0,6154·10% + 0,07692·6,5% + 0,3077·3%·(1 − 0,21) = 7,383%

الإجابة

WACC = 7,383%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 11,3 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€33,00 = €165 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·7% = 13%

الأوزان

V = €203 400 000, E/V = 0,8112, D/V = 0,1888

WACC

WACC = 0,8112·13% + 0,1888·5%·(1 − 0,2) = 11,3%

الإجابة

WACC = 11,3%

7.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 18305 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,08⁻⁶)/0,08 = 4,623

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

80 000/4,623 = 17 305,23

EAC

EAC = 17 305,23 + 1 000 = €18 305,23

الإجابة

EAC = €18 305,23

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 28,89 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 1 120,00

NPV(30%) = −300,41

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·1 120,00/(1 120,00 − (−300,41)) = 28,94%

بالضبط: NPV(28,89%) = 0 → IRR = 28,89%

الإجابة

IRR = 28,89%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation