الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €500 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. معدّل الفائدة 8% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €500i = 8%n = 4

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €10 000 بمعدّل 6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €250 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €10 000A = €2506% / 12

N = دفعات

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 7 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 3%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 2,5%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 1,5%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3%n = 7y₀ = 2,5%y₁ = 1,5%

HPR = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. يُباع بسعر €956. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 2% (2×)n = 10P = €956

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €4 000 000 وديون قيمتها €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%، ومعدل الضريبة 28%. أوجد WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,8. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,5. معدّل الضريبة 20%، والمعدّل الخالي من المخاطر 3%، وعلاوة مخاطر السوق 5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 0,8D/E = 0,5T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €30 000 اليوم ويعود بـ €13 000, €6 000, €9 000, €10 500, €10 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 5. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 6 000CF₃ = 9 000CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €5 000, €5 000, €3 500, €4 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 10%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 3 500CF₄ = 4 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 1656 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,735)/0,08 = 3,312

القيمة الحالية

PV = 500·3,312 = €1 656,06

الإجابة

PV = €1 656,06

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 45 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,005/250 = 0,8

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74

قرّب إلى دفعات كاملة

44 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 45

الإجابة

N = 45 دفعات

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = 8,114 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €30,00, i = 0,025, N = 7

€30,00·(1 − 0,8413)/0,025 + €1 000·0,8413 = €190,48 + €841,27 = €1 031,75

سعر البيع

C = €30,00, i = 0,015, N = 6

€30,00·(1 − 0,9145)/0,015 + €1 000·0,9145 = €170,92 + €914,54 = €1 085,46

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (30 + 1 085,46 − 1 031,75)/1 031,75 = 8,114%

الإجابة

HPR = 8,114%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 2,5 %

لكل فترة

C = €10,00, N = 20

الحل العددي

i = 1,25% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·1,25% = 2,5%

الإجابة

YTM = 2,5%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,293 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·4%·(1 − 0,28) = 8,293%

الإجابة

WACC = 8,293%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 8,6 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 0,8·(1 + 0,8·0,5) = 1,12

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3% + 1,12·5% = 8,6%

الإجابة

r_e = 8,6%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,735 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 13 000/1,08 = 12 037,04 → Σ = 12 037,04

السنة 2: 6 000/1,166 = 5 144,03 → Σ = 17 181,07

السنة 3: 9 000/1,26 = 7 144,49 → Σ = 24 325,56

السنة 4: 10 500/1,36 = 7 717,81 → Σ = 32 043,37

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 5 674,44/7 717,81 = 3,735

الإجابة

DPB = 3,735 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (3,19 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 19,74 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

5 000·1,1³ = 6 655,00

5 000·1,1² = 6 050,00

3 500·1,1¹ = 3 850,00

4 000·1,1⁰ = 4 000,00

TV = 20 555,00

MIRR

MIRR = (20 555,00/10 000)^1/4 − 1 = 19,74%

الإجابة

MIRR = 19,74%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation