الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…8PV = ?€15 000

تحتاج إلى €15 000 بعد 8 سنوات. يدفع حساب 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €15 0003% / 4n = 8
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…132A?AA€25 000

تريد €25 000 بعد 11 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €25 0003% / 12N = 132
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…22€40€40€40 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 8% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 11 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 8%YTM = 2,5%n = 11
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…8€920€80€80 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 8 سنوات ويُباع بسعر €920. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 8P = €920
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€3 000 000re​ = 12%الدين€1 000 000rd​ = 6%T = 21%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 6%، ومعدل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000re = 12%rd = 6%T = 21%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية€5 000 000re​ = 10%السندات2 000 × €878الكوبون 5%, n = 12T = 28%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €5 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 10%. يتكوّن دينها من 2 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%، 12 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €878. معدّل الضريبة 28%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €5 000 000re = 10%السندات: 2 000 × €878الكوبون = 5%n = 12T = 28%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…9−500 00022 000+4%+4%…r = 8%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €500 000 اليوم. يولّد €22 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 4% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €500 000CF1 = €22 000g = 4%r = 8%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات01234−50 00027 00018 00027 00028 500

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €27 000, €18 000, €27 000, €28 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 8%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 8%CF0 = −50 000CF1 = 27 000CF2 = 18 000CF3 = 27 000CF4 = 28 500
MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 11810 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·8 = 32

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,27 = €11 809,99

الإجابة

PV = €11 809,99
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 160,1 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·11 = 132

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 25 000·0,0025/(1,39 − 1) = €160,09

الإجابة

A = €160,09
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1526 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €40,00, i = 0,0125, N = 22

القيمة الحالية للكوبونات

€40,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €765,22

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,7609 = €760,87

السعر

P = €1 526,09

الإجابة

P = €1 526,09

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 9,471 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

الحل العددي

P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,471%

الإجابة

YTM = 9,471%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 10,19 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·12% + 0,25·6%·(1 − 0,21) = 10,19%

الإجابة

WACC = 10,19%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,616 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

تكلفة الدين (YTM)

878 = 50·(1 − (1 + y)−12)/y + 1000/(1 + y)12
y = 6,495%

القيم السوقية

D = 2 000·€878 = €1 756 000
V = €6 756 000, E/V = 0,7401, D/V = 0,2599

WACC

WACC = 0,7401·10% + 0,2599·6,495%·(1 − 0,28) = 8,616%

الإجابة

WACC = 8,616%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 50000 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 22 000/(0,08 − 0,04) = 550 000,00

NPV

NPV = 550 000,00 − 500 000 = €50 000,00

الإجابة

NPV = €50 000,00

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 22,52 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

27 000·1,083 = 34 012,22
18 000·1,082 = 20 995,20
27 000·1,081 = 29 160,00
28 500·1,080 = 28 500,00
TV = 112 667,42

MIRR

MIRR = (112 667,42/50 000)1/4 − 1 = 22,52%

الإجابة

MIRR = 22,52%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation