الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 9 سنوات.

PV = €12 0004% / 4n = 9

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €100 في نهاية كل شهر لمدة 28 سنوات. يدفع الحساب 3,6% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €1003,6% / 12N = 336

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 12 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 7%YTM = 9%n = 12

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 6 سنوات. يُباع بسعر €953. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7% (2×)n = 6P = €953

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 ودين قيمته €5 000 000. WACC لديها 5,98%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4,5%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 5,98%r_d = 4,5%T = 21%

r_e = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €51,50 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 3% ومعدل الضريبة 28%. معامل بيتا للسهم 1,3، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 7,5%. أوجد WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 7,5%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €30 000 اليوم ويعود بـ €11 000, €12 000, €12 000, €11 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. تكلفة رأس المال 10%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 12 000CF₃ = 12 000CF₄ = 11 500

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €26 500, €19 500, €24 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 26 500CF₂ = 19 500CF₃ = 24 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 17169 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·9 = 36

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,01)³⁶ = 12 000·1,431 = €17 169,23

الإجابة

FV = €17 169,23

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 57866 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·28 = 336

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,736 − 1)/0,003 = €57 866,12

الإجابة

FV = €57 866,12

دفعتَ بنفسك €33 600؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 855 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €35,00, i = 0,045, N = 24

القيمة الحالية للكوبونات

€35,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €507,34

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,3477 = €347,70

السعر

P = €855,05

الإجابة

P = €855,05

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 8,002 %

لكل فترة

C = €35,00, N = 12

الحل العددي

i = 4,001% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·4,001% = 8,002%

الإجابة

YTM = 8,002%

5.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 8,001 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545

جزء الدين من WACC

0,4545·4,5%·(1 − 0,21) = 1,616%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (5,98% − 1,616%)/0,5455 = 8,001%

الإجابة

r_e = 8,001%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,01 %

القيم السوقية

E = 1 000 000·€51,50 = €51 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·5,5% = 9,15%

الأوزان

V = €93 500 000, E/V = 0,5508, D/V = 0,4492

WACC

WACC = 0,5508·9,15% + 0,4492·3%·(1 − 0,28) = 6,01%

الإجابة

WACC = 6,01%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,136 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 11 000/1,1 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

السنة 2: 12 000/1,21 = 9 917,36 → Σ = 19 917,36

السنة 3: 12 000/1,331 = 9 015,78 → Σ = 28 933,13

السنة 4: 11 500/1,464 = 7 854,65 → Σ = 36 787,79

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 1 066,87/7 854,65 = 3,136

الإجابة

DPB = 3,136 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,583 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 16,51 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

26 500·1,12² = 33 241,60

19 500·1,12¹ = 21 840,00

24 000·1,12⁰ = 24 000,00

TV = 79 081,60

MIRR

MIRR = (79 081,60/50 000)^1/3 − 1 = 16,51%

الإجابة

MIRR = 16,51%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation