الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €1 000 في نهاية كل سنة لمدة 14 سنوات. معدّل الفائدة 6% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €1 000i = 6%n = 14

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات. معدل الفائدة 3% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €250 0003% / 12N = 360

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 3% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 3%YTM = 5,5%n = 3

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €1 025. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 3P = €1 025

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 1. تكلفة حقوق ملكيتها 8%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 6%، ومعدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

D/E = 1r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €8 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 9%. يتكوّن دينها من 4 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 7%، 8 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €971. معدّل الضريبة 30%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €8 000 000r_e = 9%السندات: 4 000 × €971الكوبون = 7%n = 8T = 30%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €14 000, €7 000, €6 000, €11 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000CF₄ = 11 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €8 500, €9 500, €13 500, €12 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 10%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 8 500CF₂ = 9 500CF₃ = 13 500CF₄ = 12 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 9295 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4423)/0,06 = 9,295

القيمة الحالية

PV = 1 000·9,295 = €9 294,98

الإجابة

PV = €9 294,98

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1054 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·30 = 360

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,407

A = 250 000·0,0025/(1 − 0,407) = €1 054,01

الإجابة

A = €1 054,01

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 931,7 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €15,00, i = 0,0275, N = 6

القيمة الحالية للكوبونات

€15,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €81,94

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8498 = €849,78

السعر

P = €931,72

الإجابة

P = €931,72

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 7,047 %

معادلة العائد

€1 025 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(7%) = €1 026,24, P(8%) = €1 000,00

YTM = 7,047%

الإجابة

YTM = 7,047%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,4 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 6,4%

الإجابة

WACC = 6,4%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,773 %

تكلفة الدين (YTM)

971 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 7,495%

القيم السوقية

D = 4 000·€971 = €3 884 000

V = €11 884 000, E/V = 0,6732, D/V = 0,3268

WACC

WACC = 0,6732·9% + 0,3268·7,495%·(1 − 0,3) = 7,773%

الإجابة

WACC = 7,773%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −658,3 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 7 000/1,254 = 5 580,36

CF₃/(1 + 0,12)³ = 6 000/1,405 = 4 270,68

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 11 000/1,574 = 6 990,70

اجمعها

NPV = €−658,26

الإجابة

NPV = €−658,26

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 18,72 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

8 500·1,1³ = 11 313,50

9 500·1,1² = 11 495,00

13 500·1,1¹ = 14 850,00

12 000·1,1⁰ = 12 000,00

TV = 49 658,50

MIRR

MIRR = (49 658,50/25 000)^1/4 − 1 = 18,72%

الإجابة

MIRR = 18,72%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation