الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…14€2 000FV = ?

تستثمر €2 000 بمعدّل 7% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 14 سنوات.

PV = €2 000r = 7%t = 14
FV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر01…216…360€150 000AB = ?A5,4% / 12

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 18؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €150 0005,4% / 12N = 360k = 216
B = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…14€25€25€25 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 8% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 5%YTM = 8%n = 7
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
سنوات0123…10€865€60€60 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 10 سنوات ويُباع بسعر €865. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 10P = €865
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€5 000 000re​ = 9%الدين€1 000 000rd​ = 7%T = 20%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €5 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 9%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €5 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 7%T = 20%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
rf​ = 4%, rm​ − rf​ = 5%D/E = 0,5حقوق الملكيةβL​ = 1الدينD/E = 1,25حقوق الملكيةre​ = ?الدينT = 28%

لأسهم شركة معامل بيتا قدره 1 عند نسبة دينها إلى حقوق ملكيتها الحالية 0,5. تخطّط لرفع نسبة الدين إلى حقوق الملكية إلى 1,25. معدّل الضريبة 28%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re بعد التغيير.

βL = 1D/E1 = 0,5D/E2 = 1,25T = 28%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−45 00014 00013 00014 000

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €14 000, €13 000, €14 000. تكلفة رأس المال 7,000000000000001%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 7,000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 14 000CF2 = 13 000CF3 = 14 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012−20 00012 00012 500

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €12 000, €12 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 5329 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,07·14 = 0,98
e0,98 = 2,664

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·2,664 = €5 328,91

الإجابة

FV = €5 328,91
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 89124 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 360
A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−360) = €842,30

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 360 − 216 = 144
B = 842,3·(1 − (1 + 0,0045)−144)/0,0045 = €89 123,95

الإجابة

B = €89 123,95
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 841,6 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €25,00, i = 0,04, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€25,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €264,08

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,5775 = €577,48

السعر

P = €841,55

الإجابة

P = €841,55

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 8,013 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

معادلة العائد

€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

الحل العددي

P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47
YTM = 8,013%

الإجابة

YTM = 8,013%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,433 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·9% + 0,1667·7%·(1 − 0,2) = 8,433%

الإجابة

WACC = 8,433%
6.CAPM و WACC

الإجابة: re = 10,99 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث βU معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

أزل أثر الرافعة من معامل بيتا

βU = 1/(1 + 0,72·0,5) = 0,7353

أعد تطبيق الرافعة عند D/E الجديدة

βL = 0,7353·(1 + 0,72·1,25) = 1,397

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 1,397·5% = 10,99%

الإجابة

re = 10,99%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −9133 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 14 000/1,07 = 13 084,11
CF2/(1 + 0,07)2 = 13 000/1,145 = 11 354,70
CF3/(1 + 0,07)3 = 14 000/1,225 = 11 428,17

اجمعها

NPV = €−9 133,01

الإجابة

NPV = €−9 133,01

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 14,56 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 1 239,67
NPV(15%) = −113,42

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·1 239,67/(1 239,67 − (−113,42)) = 14,58%
بالضبط: NPV(14,56%) = 0 → IRR = 14,56%

الإجابة

IRR = 14,56%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation