الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123456PV = ?€15 000

تحتاج إلى €15 000 بعد 6 سنوات. يدفع حساب 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €15 0003,6% / 12n = 6
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…60€20 000AAAA4,2% / 12, I = ?

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات بمعدّل 4,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €20 0004,2% / 12N = 60
I = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…18€30€30€30 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 2,5%n = 9
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة
أنصاف سنوات0123…18€1 069€35€35€35 + €1 000

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. يُباع بسعر €1 069. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7% (2×)n = 9P = €1 069
YTM = %
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = ?حقوق الملكية€2 000 000re​ = 13%الدين€1 000 000rd​ = 3,5%T = 25%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €2 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3,5%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000re = 13%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية2 500 000 × €11,50β = 0,6rf​ = 4%, rm​ = 8%الدين10 000 × €960rd​ = 3%T = 30%

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €11,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 3% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 0,6، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 8%. أوجد WACC.

β = 0,6rf = 4%rm = 8%rd = 3%T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123−30 0009 00014 00015 000

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €9 000, €14 000, €15 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 9 000CF2 = 14 000CF3 = 15 000
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات0123…9−200 00024 500+4%+4%+4%r = 8%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €200 000 اليوم. تدفقه النقدي €24 500 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 4% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 9. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €200 000CF1 = €24 500g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 12090 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·6 = 72

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,241 = €12 089,94

الإجابة

PV = €12 089,94
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 2208 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعة الشهرية

i = 0,0035, N = 60
A = 20 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−60) = €370,14

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 60·370,1 − 20 000 = €2 208,30

الإجابة

I = €2 208,30
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1281 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,0125, N = 18

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €480,89

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,7996 = €799,63

السعر

P = €1 280,52

الإجابة

P = €1 280,52

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 5,997 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €35,00, N = 18

الحل العددي

i = 2,998% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·2,998% = 5,997%

الإجابة

YTM = 5,997%
5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,542 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,25) = 9,542%

الإجابة

WACC = 9,542%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 5,324 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 2 500 000·€11,50 = €28 750 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 0,6·4% = 6,4%

الأوزان

V = €38 350 000, E/V = 0,7497, D/V = 0,2503

WACC

WACC = 0,7497·6,4% + 0,2503·3%·(1 − 0,3) = 5,324%

الإجابة

WACC = 5,324%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −126,9 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 14 000/1,254 = 11 160,71
CF3/(1 + 0,12)3 = 15 000/1,405 = 10 676,70

اجمعها

NPV = €−126,87

الإجابة

NPV = €−126,87

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −23606 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لسلسلة الدفعات النامية

((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 24 500/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 176 393,71

NPV

NPV = 176 393,71 − 200 000 = −€23 606,29

الإجابة

NPV = −€23 606,29

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation