الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €10 000 بعد 2 سنوات. يدفع حساب 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €10 0003% / 12n = 2

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 18 سنوات. يدفع الحساب 4,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5004,2% / 12N = 216

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 9%n = 10

P = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 8% يستحق بعد 6 سنوات ويُباع بسعر €915. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 6P = €915

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

سهم معامل بيتا له 1,6 وعائده المطلوب 14,2%. المعدّل الخالي من المخاطر 3%. ما عائد السوق المتوقّع r_m الذي يقتضيه CAPM؟

β = 1,6r_e = 14,2%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 1 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €40,50؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €20 300 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €2,80 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 3% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €40 500 000 وتكلفته قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 25%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 1 000 000P₀ = €40,50حقوق الملكية الدفترية = €20 300 000D₀ = €2,80g = 3%D = €40 500 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €18 000, €13 000, €21 000, €10 000. تكلفة رأس المال 7,000000000000001%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 13 000CF₃ = 21 000CF₄ = 10 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €40 000 ويعود بـ €23 000, €16 000, €7 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €45 000 ويعود بـ €11 500, €18 500, €23 000. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −40 000, 23 000, 16 000, 7 000B: −45 000, 11 500, 18 500, 23 000

r* = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 9418 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·2 = 24

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,062 = €9 418,35

الإجابة

PV = €9 418,35

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 160990 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·18 = 216

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2,127 − 1)/0,0035 = €160 990,14

الإجابة

FV = €160 990,14

دفعتَ بنفسك €108 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 804,9 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,045, N = 20

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,4146)/0,045 = €390,24

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,4146 = €414,64

السعر

P = €804,88

الإجابة

P = €804,88

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 9,949 %

معادلة العائد

€915 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

الحل العددي

P(9%) = €955,14, P(10%) = €912,89

YTM = 9,949%

الإجابة

YTM = 9,949%

5.CAPM و WACC

الإجابة: r_m = 10 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

r_m − r_f = (14,2% − 3%)/1,6 = 7%

عائد السوق

r_m = 3% + 7% = 10%

الإجابة

r_m = 10%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,185 %

تكلفة حقوق الملكية

D₁ = 2,8·1,03 = €2,88

r_e = 2,884/40,5 + 0,03 = 10,12%

القيم السوقية

E = 1 000 000·€40,50 = €40 500 000

V = €81 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10,12% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 6,185%

الإجابة

WACC = 6,185%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 7948 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 13 000/1,145 = 11 354,70

CF₃/(1 + 0,07)³ = 21 000/1,225 = 17 142,26

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 10 000/1,311 = 7 628,95

اجمعها

NPV = €7 948,34

الإجابة

NPV = €7 948,34

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: r* = 5,413 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 11 500 − 23 000 = −11 500

ΔCF₂ = 18 500 − 16 000 = 2 500

ΔCF₃ = 23 000 − 7 000 = 16 000

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(5%) = 136,59

NPV_Δ(6%) = −190,16

r* = 5,413%

الإجابة

r* = 5,413%

تحقّق: عند 5,413% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €2 194,08.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation