الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدّل 4% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 10 سنوات.

PV = €2 000r = 4%t = 10

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €250 في نهاية كل شهر لمدة 15 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2505,4% / 12N = 180

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 7% ويستحق بعد 13 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 4% إلى 5,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 7%n = 13y₁ = 4%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4,5% ويستحق بعد 5 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 4,5%n = 5YTM = 4%

D = سنوات

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 وديون قيمتها €4 000 000. تكلفة حقوق الملكية 11%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3,5%، ومعدل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €53,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 25%. معامل بيتا للسهم 0,9، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 8,5%. أوجد WACC.

β = 0,9r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €21 000, €18 000, €34 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 18 000CF₃ = 34 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €17 000, €26 000, €28 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 8%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 17 000CF₂ = 26 000CF₃ = 28 500

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2984 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,04·10 = 0,4

e^0,4 = 1,492

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·1,492 = €2 983,65

الإجابة

FV = €2 983,65

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 69102 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·15 = 180

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,244 − 1)/0,0045 = €69 101,51

الإجابة

FV = €69 101,51

دفعتَ بنفسك €45 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = −162,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €70,00, i = 0,04, N = 13

€70,00·(1 − 0,6006)/0,04 + €1 000·0,6006 = €699,00 + €600,57 = €1 299,57

السعر عند العائد الجديد

C = €70,00, i = 0,055, N = 13

€70,00·(1 − 0,4986)/0,055 + €1 000·0,4986 = €638,20 + €498,56 = €1 136,76

التغيّر

ΔP = 1 136,76 − 1 299,57 = −€162,81

الإجابة

ΔP = −€162,81

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 4,593 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 45/1,04 = 43,27, t·PV = 43,27

t = 2: 45/1,082 = 41,61, t·PV = 83,21

t = 3: 45/1,125 = 40,00, t·PV = 120,01

t = 4: 45/1,17 = 38,47, t·PV = 153,86

t = 5: 1045/1,217 = 858,91, t·PV = 4 294,57

المدة

P = 1 022,26

D = 4 694,93/1 022,26 = 4,593

الإجابة

D = 4,593 سنوات

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,65 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·11% + 0,4·3,5%·(1 − 0,25) = 7,65%

الإجابة

WACC = 7,65%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,632 %

القيم السوقية

E = 2 000 000·€53,50 = €107 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 4% + 0,9·4,5% = 8,05%

الأوزان

V = €117 500 000, E/V = 0,9106, D/V = 0,08936

WACC

WACC = 0,9106·8,05% + 0,08936·4,5%·(1 − 0,25) = 7,632%

الإجابة

WACC = 7,632%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −17700 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 21 000/1,12 = 18 750,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 18 000/1,254 = 14 349,49

CF₃/(1 + 0,12)³ = 34 000/1,405 = 24 200,53

اجمعها

NPV = €−17 699,98

الإجابة

NPV = €−17 699,98

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 15,18 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

17 000·1,08² = 19 828,80

26 000·1,08¹ = 28 080,00

28 500·1,08⁰ = 28 500,00

TV = 76 408,80

MIRR

MIRR = (76 408,80/50 000)^1/3 − 1 = 15,18%

الإجابة

MIRR = 15,18%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation