الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 25% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 25%m = 4

EAR = %

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات. معدل الفائدة 5,4% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €200 0005,4% / 12N = 300

A = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 12 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €736 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 8%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 12P = €736YTM = 8%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 5% يستحق بعد 9 سنوات ويُباع بسعر €1 115. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%n = 9P = €1 115

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €4 000 000 ودين قيمته €4 000 000. WACC لديها 7,4%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 6%، ومعدّل الضريبة 20%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €4 000 000D = €4 000 000WACC = 7,4%r_d = 6%T = 20%

r_e = %

6.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €41,50 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 0,8، والمعدل الخالي من المخاطر 1,5%، وعائد السوق 6,5%. أوجد WACC.

β = 0,8r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €14 000, €16 000, €21 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 16 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €17 000, €14 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 14 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 27,44 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,25/4 = 0,0625

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,0625)⁴ − 1 = 1,274 − 1 = 27,44%

الإجابة

EAR = 27,44%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1216 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,26

A = 200 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 216,26

الإجابة

A = €1 216,26

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 4,497 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,08)⁻¹² = €397,11

الكوبون

C = (736 − 397,11)/7,536 = €44,97

معدل الكوبون

c = 44,97/1000 = 4,497%

الإجابة

c = 4,497%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,489 %

معادلة العائد

€1 115 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

الحل العددي

P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35

YTM = 3,489%

الإجابة

YTM = 3,489%

5.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 10 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

جزء الدين من WACC

0,5·6%·(1 − 0,2) = 2,4%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (7,4% − 2,4%)/0,5 = 10%

الإجابة

r_e = 10%

6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 5,335 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€41,50 = €207 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,8·5% = 5,5%

الأوزان

V = €226 700 000, E/V = 0,9153, D/V = 0,08469

WACC

WACC = 0,9153·5,5% + 0,08469·4,5%·(1 − 0,21) = 5,335%

الإجابة

WACC = 5,335%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −14014 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 14 000/1,05 = 13 333,33

CF₂/(1 + 0,05)² = 16 000/1,103 = 14 512,47

CF₃/(1 + 0,05)³ = 21 000/1,158 = 18 140,59

اجمعها

NPV = €−14 013,61

الإجابة

NPV = €−14 013,61

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 17,4 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 746,69

NPV(20%) = −763,89

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·746,69/(746,69 − (−763,89)) = 17,47%

بالضبط: NPV(17,4%) = 0 → IRR = 17,4%

الإجابة

IRR = 17,4%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation