الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €10 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 3% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 6% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €10 000g = 3%r = 6%

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €50 في نهاية كل شهر لمدة 18 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €505,4% / 12N = 216

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 5 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €767 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 9%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 5P = €767YTM = 9%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €975 بعائد حتى الاستحقاق 5% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 5,5 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 50 نقطة أساس.

P₀ = €975y = 5%D = 5,5Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €4 000 000 وديون قيمتها €4 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3,5%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 1,1. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,4. معدّل الضريبة 28%، والمعدّل الخالي من المخاطر 3%، وعلاوة مخاطر السوق 5,5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 1,1D/E = 0,4T = 28%r_f = 3%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €60 000 اليوم. تولّد €23 500 في نهاية كل سنة لمدة 3 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €12 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €60 000CF = €23 500S = €12 000n = 3r = 12%

NPV = €

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €5 000, €3 500, €4 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 6%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 000

MIRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 333333 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,06 − 0,03) = 10 000/0,03 = €333 333,33

الإجابة

PV = €333 333,33

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 18194 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·18 = 216

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,637 − 1)/0,0045 = €18 194,09

الإجابة

FV = €18 194,09

دفعتَ بنفسك €10 800؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 3,01 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,09)⁻⁵ = €649,93

الكوبون

C = (767 − 649,93)/3,89 = €30,10

معدل الكوبون

c = 30,1/1000 = 3,01%

الإجابة

c = 3,01%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 949,5 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 5,5/1,05 = 5,238

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −5,238·(0,005) = −2,619%

P ≈ 975·(1 − 0,02619) = €949,46

الإجابة

P = €949,46

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,9 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 7,9%

الإجابة

WACC = 7,9%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 10,79 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 1,1·(1 + 0,72·0,4) = 1,417

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3% + 1,417·5,5% = 10,79%

الإجابة

r_e = 10,79%

7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 4984 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

23 500·2,402 = 56 443,03

القيمة الحالية لقيمة الخردة

12 000/1,405 = 8 541,36

NPV

NPV = −60 000 + 56 443,03 + 8 541,36 = €4 984,40

الإجابة

NPV = €4 984,40

8.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 10,05 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

5 000·1,06² = 5 618,00

3 500·1,06¹ = 3 710,00

4 000·1,06⁰ = 4 000,00

TV = 13 328,00

MIRR

MIRR = (13 328,00/10 000)^1/3 − 1 = 10,05%

الإجابة

MIRR = 10,05%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation