الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €15 000 بعد 8 سنوات. يدفع حساب 4,8% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €15 0004,8% / 12n = 8

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 22 سنوات. يدفع الحساب 7,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5007,2% / 12N = 264

FV = €

3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 12 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 205 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 12P = €1 205YTM = 2,5%

c = %

4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 5% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €1 030. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%n = 3P = €1 030

YTM = %

5.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €2 000 000 وديون قيمتها €4 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM و WACCصعبة

لأسهم شركة معامل بيتا قدره 0,9 عند نسبة دينها إلى حقوق ملكيتها الحالية 0,2. تخطّط لرفع نسبة الدين إلى حقوق الملكية إلى 0,75. معدّل الضريبة 30%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 5%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e بعد التغيير.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 اليوم ويعود بـ €14 500, €16 000, €11 000, €15 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. تكلفة رأس المال 12%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 000CF₃ = 11 000CF₄ = 15 000

DPB = سنوات

8.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €23 500, €31 500, €20 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 31 500CF₃ = 20 500

IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 10225 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,467 = €10 224,80

الإجابة

PV = €10 224,80

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 320950 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·22 = 264

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4,851 − 1)/0,006 = €320 949,84

الإجابة

FV = €320 949,84

دفعتَ بنفسك €132 000؛ والباقي فائدة.

3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 4,498 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)⁻¹² = €743,56

الكوبون

C = (1205 − 743,56)/10,26 = €44,98

معدل الكوبون

c = 44,98/1000 = 4,498%

الإجابة

c = 4,498%

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,921 %

معادلة العائد

€1 030 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75

YTM = 3,921%

الإجابة

YTM = 3,921%

5.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,667 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·12% + 0,6667·5%·(1 − 0,2) = 6,667%

الإجابة

WACC = 6,667%

6.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 10,02 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

أزل أثر الرافعة من معامل بيتا

β_U = 0,9/(1 + 0,7·0,2) = 0,7895

أعد تطبيق الرافعة عند D/E الجديدة

β_L = 0,7895·(1 + 0,7·0,75) = 1,204

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 4% + 1,204·5% = 10,02%

الإجابة

r_e = 10,02%

7.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,679 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 14 500/1,12 = 12 946,43 → Σ = 12 946,43

السنة 2: 16 000/1,254 = 12 755,10 → Σ = 25 701,53

السنة 3: 11 000/1,405 = 7 829,58 → Σ = 33 531,11

السنة 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 43 063,88

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 6 468,89/9 532,77 = 3,679

الإجابة

DPB = 3,679 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,864 سنوات).

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 24,26 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(20%) = 3 321,76

NPV(25%) = −544,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 20 + 5·3 321,76/(3 321,76 − (−544,00)) = 24,3%

بالضبط: NPV(24,26%) = 0 → IRR = 24,26%

الإجابة

IRR = 24,26%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation