الاستثمار والتقييم: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية
FV = PV·(1 + i)n
القيمة الحالية
PV = FV/(1 + i)n
عدة فترات في السنة
i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

الطريقة

  1. ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
  2. طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
  3. استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
  4. تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
نصف سنوي
C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري
C/P
السعر والعائد
العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

  1. أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
  2. السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
  3. للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
  4. تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
قيمة الشركة
V = E + D

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
تدفقات نقدية متساوية
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
معدل العائد الداخلي
قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار
اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

  1. اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
  2. اخصم كل تدفق نقدي: CFt/(1 + r)t.
  3. اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
  4. لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة
سنوات0123…20PV = ?€2 000€2 000€2 000€2 000

تدفع سلسلة دفعات €2 000 في نهاية كل سنة لمدة 20 سنوات. معدّل الفائدة 4% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €2 000i = 4%n = 20
PV = €
2.القيمة الزمنية للنقودصعبة
أشهر0123…36€20 000A?AAA

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 3 سنوات. معدل الفائدة 2,4% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €20 0002,4% / 12N = 36
A = €
3.تسعير السندات وعائدهامتوسطة
أنصاف سنوات0123…18€10€10€10 + €1 000P = ?

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 2% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 2%YTM = 5%n = 9
P = €
4.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €970 بعائد حتى الاستحقاق 4% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 4,7 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا انخفض العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P0 = €970y = 4%D = 4,7Δy = −75 bp
P = €
5.CAPM و WACCمتوسطة
WACC = 11,89%حقوق الملكية€8 000 000re​ = ?الدين€1 000 000rd​ = 4%T = 25,8%

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €8 000 000 ودين قيمته €1 000 000. WACC لديها 11,89%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4%، ومعدّل الضريبة 25,8%. أوجد تكلفة حقوق الملكية re.

E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 11,89%rd = 4%T = 25,8%
re = %
6.CAPM و WACCصعبة
WACC = ?حقوق الملكية5 000 000 × €56,00β = 0,8rf​ = 4%, rm​ = 8,5%الدين5 000 × €960rd​ = 7%T = 30%

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €56,00 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 7% ومعدل الضريبة 30%. معامل بيتا للسهم 0,8، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 8,5%. أوجد WACC.

β = 0,8rf = 4%rm = 8,5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NPV و IRRمتوسطة
سنوات0123…9−400 00032 000+3%+3%…r = 12%, NPV = ?

تبلغ تكلفة مشروع €400 000 اليوم. يولّد €32 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 3% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C0 = €400 000CF1 = €32 000g = 3%r = 12%
NPV = €
8.NPV و IRRصعبة
سنوات012345−40 00011 00011 00011 00011 00011 000

استثمار قدره €40 000 يعود بـ €11 000 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C0 = €40 000CF = €11 000n = 5
IRR = %

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 27181 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4564)/0,04 = 13,59

القيمة الحالية

PV = 2 000·13,59 = €27 180,65

الإجابة

PV = €27 180,65
2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 576,4 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·3 = 36

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)−N = 0,9306
A = 20 000·0,002/(1 − 0,9306) = €576,35

الإجابة

A = €576,35
3.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 784,7 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €10,00, i = 0,025, N = 18

القيمة الحالية للكوبونات

€10,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €143,53

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6412 = €641,17

السعر

P = €784,70

الإجابة

P = €784,70

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

4.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1003 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

المدة المعدَّلة

Dmod = 4,7/1,04 = 4,519

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −4,519·(−0,0075) = 3,389%
P ≈ 970·(1 + 0,03389) = €1 002,88

الإجابة

P = €1 002,88

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

5.CAPM و WACC

الإجابة: re = 13,01 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

جزء الدين من WACC

0,1111·4%·(1 − 0,258) = 0,3298%

تكلفة حقوق الملكية

re = (11,89% − 0,3298%)/0,8889 = 13,01%

الإجابة

re = 13,01%
6.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,554 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

القيم السوقية

E = 5 000 000·€56,00 = €280 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

re = 4% + 0,8·4,5% = 7,6%

الأوزان

V = €284 800 000, E/V = 0,9831, D/V = 0,01685

WACC

WACC = 0,9831·7,6% + 0,01685·7%·(1 − 0,3) = 7,554%

الإجابة

WACC = 7,554%
7.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −44444 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 32 000/(0,12 − 0,03) = 355 555,56

NPV

NPV = 355 555,56 − 400 000 = −€44 444,44

الإجابة

NPV = −€44 444,44

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

8.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 11,65 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)−5)/i = 40 000/11 000 = 3,636

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 11%: 3,696
i = 12%: 3,605
IRR = 11,65%

الإجابة

IRR = 11,65%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation