التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
محرّك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 18 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية Ft على أسنان الترس الصغير.
P = 11 kWn = 2900 rpmN1 = 18m = 2,5 mm
Ft = N
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (45 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (80 سنًّا). الترس C (40 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (45 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج nout.
nin = 3000 rpmA = 45B = 80C = 40D = 45
nout = rpm
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
يجب أن ينقل عمود مجوّف 100 kW بسرعة 1450 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي do.
P = 100 kWN = 1450 rpmdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 50 MPa و σᵧ = 20 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τxy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 65 MPa؟
σx = 50 MPaσy = 20 MPaσ1 = 65 MPa
τxy = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
عمود مصمت قطره 50 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 160 kN مع عزم التواء 750 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ1.
d = 50 mmF = 160 kNT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.
المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل Pmax.
القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 120 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 120 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 40 kg على نابض جساءته 8 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 40 kgk = 8 kN/mζ = 0,35
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 40 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 100 kN/m و k₂ = 25 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Ft = 1610 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
العزم على الترس الصغير
ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 11000/303,7 = 36,22 N·m
قطر الخطوة
d = m·N = 2,5·18 = 45 mm
القوة المماسية
Ft = 2T/d = 2·36,22/0,045 = 1610 N
الإجابة
Ft = 1610 N
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: nout = 1500 rpm
مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.
المرحلة الأولى
nB = 3000·45/80 = 1688 rpm = nC
المرحلة الثانية
nout = 1688·40/45 = 1500 rpm
الإجابة
nout = 1500 rpm
النسبة الكلية = 2 : 1
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 13,86 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°
الإجابة
φ = 13,86°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: do = 36,27 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m
القطر الخارجي من الإجهاد المسموح
T = 658,6 N·m = 658572 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·658572/(π·75·0,9375)) = 36,27 mm
di = 0,5·36,27 = 18,13 mm
الإجابة
do = 36,27 mm
العمود المصمت يحتاج إلى d = 35,5 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τxy = 25,98 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
نصف القطر المطلوب
C = (50 + 20)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 65 − 35 = 30 MPa
إجهاد القص
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 15²) = 25,98 MPa
الإجابة
τxy = 25,98 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σ1 = 91,67 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الإجهادات عند السطح
σ = F/A = 160000/(π·50²/4) = 160000/1963 = 81,49 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa
دائرة مور
C = σ/2 = 40,74 MPa
R = √(40,74² + 30,56²) = 50,93 MPa
σ1 = C + R = 91,67 MPa
σ2 = C − R = −10,19 MPa
الإجابة
σ1 = 91,67 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: P = 58,73 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²
المرونات
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N
الحمل
P = 0,5/8,514 × 10⁻⁶ = 58730 N = 58,73 kN
الإجابة
P = 58,73 kN
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: Pmax = 421,8 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N
الانفعال الحاكم
ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (الفولاذ)
أكبر حمل
Pmax = 0,001·4,218 × 10⁸ = 421759 N = 421,8 kN
الإجابة
Pmax = 421,8 kN
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 23,55 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,5·1500 = 750 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23,55 kN
الإجابة
Pcr = 23,55 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 77,13 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,13 mm
الإجابة
d = 77,13 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 103,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 2,108 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(8000/40) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz
الإجابة
fd = 2,108 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 6,195 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
k1 و k2 فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k3، لذا ادمجهما بالمقلوبات.
k12 = 100 + 25 = 125 kN/m
keq = 125·40/(125 + 40) = 30,3 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(30303/20) = 38,92 rad/s
fn = 38,92/(2π) = 6,195 Hz
الإجابة
fn = 6,195 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design