تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 800 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 250 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 15 mm بعزم 30 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 300 mm بزاوية 1,3° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 1,3°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 40 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند B على بعد 1,2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 250 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 3 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 50 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 170 kN مع عزم التواء 500 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 50 mmF = −170 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 30 kNالجزء 1: Ø35 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 18,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 18,8 mmn = 2

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 50 kN/m و k₂ = 20 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 5,694 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 9,49 m/s

القدرة

P = (800 − 200)·9,49 = 5694 W = 5,694 kW

الإجابة

P = 5,694 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 8,476 kW

زاوية الالتفاف

θ = 3,017 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,905 = 2,472, T₂ = 1500/2,472 = 606,8 N

القدرة

P = (1500 − 606,8)·9,49 = 8,476 kW

الإجابة

P = 8,476 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 79,81 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,3·π/180 = 0,02269 rad

معامل القص

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0,02269) = 79810 MPa

G = 79,81 GPa

الإجابة

G = 79,81 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 39,79 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 750 = −500 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

الإجابة

τ_max = 39,79 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 4,731 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 60/60,83 = 0,9864, sin 2θ_s = −(−10)/60,83 = 0,1644

2θ_s = atan2(10, 60) = 9,462°

الزاوية على العنصر

θ_s = 4,731°

تحقّق: θ_s − θ_p = 4,731 − 49,73 = −45°

الإجابة

θ_s = 4,731°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 4,554 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −170000/(π·50²/4) = −170000/1963 = −86,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = −43,29 MPa

R = √((−43,29)² + 20,37²) = 47,84 MPa

σ₁ = C + R = 4,554 MPa

σ₂ = C − R = −91,13 MPa

الإجابة

σ₁ = 4,554 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 436,5 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/70000 = 0,0004365 = 436,5 µε

الإجابة

ε = 436,5 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 149,2 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 31,18 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 149,2 MPa

الإجابة

σ_max = 149,2 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 12,56 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·5000 = 10000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12,56 kN

الإجابة

P_cr = 12,56 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 6,747 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

الإجابة

σ_cr = 6,747 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05997

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(40/18,8) = 0,3775

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3775/√(39,48 + 0,1425) = 0,05997

الإجابة

ζ = 0,05997

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 70 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 20 = 70 kN/m

الإجابة

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design