التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
محرّك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 2 mm. أوجد القوة المماسية Ft على أسنان الترس الصغير.
P = 1,1 kWn = 1450 rpmN1 = 30m = 2 mm
Ft = N
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 120 mm وبكرة قطرها 300 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.
d1 = 120 mmd2 = 300 mmC = 1000 mm
θ = °
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم طوله 0,8 m يحمل عزم التواء 400 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.
T = 400 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
يجب أن ينقل عمود مصمت 5 kW عند 1450 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.
P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −60 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.
σx = −60 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 40° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σn المؤثّر عبر درز اللحام.
D = 500 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 40°
σn = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 60 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.
المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 35 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 135 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 135 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 5 kg على نابض جساءته 12 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,6. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 5 kgk = 12 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 50 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 50 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Ft = 241,5 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
العزم على الترس الصغير
ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 1100/151,8 = 7,244 N·m
قطر الخطوة
d = m·N = 2·30 = 60 mm
القوة المماسية
Ft = 2T/d = 2·7,244/0,06 = 241,5 N
الإجابة
Ft = 241,5 N
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: θ = 169,7 °
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
زاوية السير
asin(0,09) = 5,164°
زاوية الالتفاف
θ = 180 − 2·5,164 = 169,7°
الإجابة
θ = 169,7°
3.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 51,77 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي المطلوب
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·800/(26000·0,01745) = 705179 mm⁴
القطر
d = (32J/π)1/4 = 51,77 mm
الإجابة
d = 51,77 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 14,09 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m
القطر من الإجهاد المسموح
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·32929/(π·60)) = 14,09 mm
الإجابة
d = 14,09 mm
عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: θp = −78,02 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزاوية على الدائرة
تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−40, −60 − 120) = −156°
الزاوية على العنصر
θp = −78,02°
الإجابة
θp = −78,02°
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σn = 19,84 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.
إجهادات الجدار
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 0,5·250/5 = 25 MPa
σa = pr/(2t) = 12,5 MPa
التحويل إلى الدرز
خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.
σn = 12,5·sin²40° + 25·cos²40° = 19,84 MPa
الإجابة
σn = 19,84 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: P = 49,87 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
المرونات
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N
الحمل
P = 0,2/4,01 × 10⁻⁶ = 49870 N = 49,87 kN
الإجابة
P = 49,87 kN
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 111,4 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 27,85 MPa
σ2 = 111,4 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 111,4 MPa
الإجابة
σmax = 111,4 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 71,19 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN
الإجابة
Pcr = 71,19 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 83,14 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,14 mm
الإجابة
d = 83,14 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 96,23، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 6,238 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(12000/5) = 48,99 rad/s
fn = 48,99/(2π) = 7,797 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,797·√(1 − 0,6²) = 6,238 Hz
الإجابة
fd = 6,238 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 6,497 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
k1 و k2 فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k3، لذا ادمجهما بالمقلوبات.
k12 = 50 + 50 = 100 kN/m
keq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(33333/20) = 40,82 rad/s
fn = 40,82/(2π) = 6,497 Hz
الإجابة
fn = 6,497 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design