تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 20 سنًّا وموديول 4 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 11 kWn = 2900 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 150 mm وبكرة قطرها 250 mm والمسافة بين مركزيهما 500 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 150 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 75 mm، وقطره الداخلي 38 mm، وطوله 2,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 1500 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 1800 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 130 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1200 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 30° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 100 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 145 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 145 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 50 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 26,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 26,7 mmn = 2

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 60 kN/m و k₂ = 12 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 905,5 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 11000/303,7 = 36,22 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 4·20 = 80 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·36,22/0,08 = 905,5 N

الإجابة

F_t = 905,5 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 168,5 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,1) = 5,739°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°

الإجابة

θ = 168,5°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,9256 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2500/(80000·2,902 × 10⁶) = 0,01615 rad

φ = 0,01615·180/π = 0,9256°

الإجابة

φ = 0,9256°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,104 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·50/8,545 × 10⁶ = 3,104 MPa

الإجابة

τ_max = 3,104 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −13,28 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 130 − 50) = −26,57°

الزاوية على العنصر

θ_p = −13,28°

الإجابة

θ_p = −13,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 43,75 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/6 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 25·sin²30° + 50·cos²30° = 43,75 MPa

الإجابة

σ_n = 43,75 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 954,9 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

الإجابة

ε = 954,9 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 318,3 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 318,3 MPa

الإجابة

σ_max = 318,3 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 19,69 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19,69 kN

الإجابة

P_cr = 19,69 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 62,2 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,2 mm

الإجابة

d = 62,2 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 128,6، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04986

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(50/26,7) = 0,3137

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3137/√(39,48 + 0,09839) = 0,04986

الإجابة

ζ = 0,04986

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,283 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 60 + 12 = 72 kN/m

k_eq = 72·12/(72 + 12) = 10,29 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(10286/50) = 14,34 rad/s

f_n = 14,34/(2π) = 2,283 Hz

الإجابة

f_n = 2,283 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design