تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 1200 N في الجانب المشدود و240 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 240 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (32 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 2880 rpm ويدير الترس B (80 سنًّا). الترس C (40 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 921,6 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 2880 rpmA = 32B = 80C = 40n_out = 921,6 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 75 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 160 MPa، σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 20° باتجاه عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 250 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 25 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 250 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaالأنبوب: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 115 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 50 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 50 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 15 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 5 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 18,1 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 18,85 m/s

القدرة

P = (1200 − 240)·18,85 = 18096 W = 18,1 kW

الإجابة

P = 18,1 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 50

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 2880·32/80 = 1152 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 40·1152/921,6 = 50

الإجابة

N_D = 50

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,503 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ = 0,0786·180/π = 4,503°

الإجابة

φ = 4,503°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 31,21 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

الإجابة

d = 31,21 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = −57,57 MPa

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 55 − 105·0,766 − (−50)·(−0,6428) = −57,57 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 167,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = −57,57 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 2,236

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −25 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 30,9 MPa, σ₂ = −80,9 MPa, σ₃ = 0

تريسكا

σ_max − σ_min = 111,8 MPa

n = 250/111,8 = 2,236

الإجابة

n = 2,236

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,658 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 221/200000 = 0,001105 = 1105 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,001105·1500 mm = 1,658 mm

الإجابة

δ = 1,658 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 252,1 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00125, 0,001) = 0,001 (الألومنيوم)

أكبر حمل

P_max = 0,001·2,521 × 10⁸ = 252113 N = 252,1 kN

الإجابة

P_max = 252,1 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 7,106 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7,106 kN

الإجابة

P_cr = 7,106 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 138,3 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 138,3 mm

الإجابة

d = 138,3 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 173,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,843 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(20000/50) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,45²) = 2,843 Hz

الإجابة

f_d = 2,843 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,542 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 5 + 80 = 85 kN/m

k_eq = 85·15/(85 + 15) = 12,75 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(12750/50) = 15,97 rad/s

f_n = 15,97/(2π) = 2,542 Hz

الإجابة

f_n = 2,542 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design