تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 720 rpm. الشد 600 N في الجانب المشدود و240 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 600 NT₂ = 240 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1440 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (50 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (80 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1440 rpmA = 18B = 72C = 50D = 80

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ طوله 3 m يحمل عزم التواء 200 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 200 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 15 kW عند 1450 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa، σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 30° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −50 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس تحت الحمل المحوري.

P = 75 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 60 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 150 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 100 kg يحملها نابض جساءته 12 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 220 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 100 kgk = 12 kN/mc = 220 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 20 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 80 kN/m و k₂ = 25 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 1,629 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 4,524 m/s

القدرة

P = (600 − 240)·4,524 = 1629 W = 1,629 kW

الإجابة

P = 1,629 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 225 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1440·18/72 = 360 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 360·50/80 = 225 rpm

الإجابة

n_out = 225 rpm

النسبة الكلية = 6,4 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 45,74 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·3000/(80000·0,01745) = 429718 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 45,74 mm

الإجابة

d = 45,74 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 8,385 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 98786·20/235619 = 8,385 MPa

الإجابة

τ_max = 8,385 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 49,64 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 20 − 10·0,5 − (−40)·0,866 = 49,64 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −9,641 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 49,64 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 33,3 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 30 + −80·0,5 + 50·0,866 = 33,3 MPa

الإجابة

σ_θ = 33,3 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,959 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/117000 = 0,001306 = 1306 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,001306·1500 mm = 1,959 mm

الإجابة

δ = 1,959 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 34,72 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 60000·753982/1,037 × 10⁶ = 43636 N

الإجهاد

σ₂ = 43636/1257 = 34,72 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 34,72 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 5,118 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·6000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/6000² = 5118 N = 5,118 kN

الإجابة

P_cr = 5,118 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 54,93 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 54,93 mm

الإجابة

d = 54,93 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 102، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1004

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·100) = 2191 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 220/2191 = 0,1004

الإجابة

ζ = 0,1004

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,262 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·20/(105 + 20) = 16,8 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(16800/40) = 20,49 rad/s

f_n = 20,49/(2π) = 3,262 Hz

الإجابة

f_n = 3,262 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design