تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 1000 N في الجانب المشدود و250 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 12 سنًّا ولكل ترس كوكبي 18 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 3000 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 12N_p = 18n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 20 kW بسرعة 1500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 120 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = −20 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 100 MPa و σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 21,3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₅ = 21,3 mmn = 5

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 12 kN/m والسفلي k₂ = 5 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 13,57 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 18,1 m/s

القدرة

P = (1000 − 250)·18,1 = 13572 W = 13,57 kW

الإجابة

P = 13,57 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 600 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −48/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·12/60 = 600 rpm

الإجابة

n_c = 600 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 21,92 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·251327) = 0,3826 rad

φ = 0,3826·180/π = 21,92°

الإجابة

φ = 21,92°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 31,04 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,04 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(23,49, 31,04) = 31,04 mm

الإجابة

d = 31,04 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 63,03 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 90 MPa, R = √(30² + (−20)²) = 36,06 MPa

σ₁ = 126,1 MPa, σ₂ = 53,94 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72,11, 126,1, 53,94)/2 = 63,03 MPa

الإجابة

τ_abs = 63,03 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 113,8 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 95 + 5·−0,1736 + 20·0,9848 = 113,8 MPa

الإجابة

σ_θ = 113,8 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 83,86 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/3,577 × 10⁻⁶ = 83865 N = 83,86 kN

الإجابة

P = 83,86 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 320,7 kN

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0004167) = 0,0004167 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0004167·7,697 × 10⁸ = 320704 N = 320,7 kN

الإجابة

P_max = 320,7 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 9,646 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·6000 = 12000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9,646 kN

الإجابة

P_cr = 9,646 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 87,73 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

الإجابة

σ_cr = 87,73 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02005

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(40/21,3) = 0,126

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,126/√(39,48 + 0,01588) = 0,02005

الإجابة

ζ = 0,02005

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,99 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/5 → k_eq = 12·5/(12 + 5) = 3,529 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(3529/10) = 18,79 rad/s

f_n = 18,79/(2π) = 2,99 Hz

الإجابة

f_n = 2,99 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design