تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 18 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 32 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 32η = 98%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (36 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (48 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 36B = 72C = 48D = 72

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 5 kW بسرعة 1800 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,6 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 5 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa، σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 40° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 40 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 50 kN مع عزم التواء 750 N·m. عند سطح العمود، أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

d = 40 mmF = 50 kNT = 750 N·m

τ_max = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 60 mm والطول 200 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 4,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 4,7 mmn = 2

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 60 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 9,549 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

الإجابة

T₁ = 9,549 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 483,3 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 1450·36/72 = 725 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 725·48/72 = 483,3 rpm

الإجابة

n_out = 483,3 rpm

النسبة الكلية = 3 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 11,22 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·15708) = 0,1959 rad

φ = 0,1959·180/π = 11,22°

الإجابة

φ = 11,22°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 15,71 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 26,53 N·m = 26526 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·40·0,8704)) = 15,71 mm

d_i = 0,6·15,71 = 9,428 mm

الإجابة

d_o = 15,71 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 15 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 60,41 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 10 − 50·0,1736 − (−60)·0,9848 = 60,41 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −40,41 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 60,41 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 62,91 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = 50000/(π·40²/4) = 50000/1257 = 39,79 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 19,89 MPa

R = √(19,89² + 59,68²) = 62,91 MPa

الإجابة

τ_max = 62,91 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 6189 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/100000 = 0,006189 = 6189 µε

الإجابة

ε = 6189 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 5,212 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 20000·989602/1,343 × 10⁶ = 14737 N

الإجهاد

σ₂ = 14737/2827 = 5,212 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 5,212 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,876 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN

الإجابة

P_cr = 3,876 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 6,294 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/6,25 = 560

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

الإجابة

σ_cr = 6,294 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05997

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(10/4,7) = 0,3775

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3775/√(39,48 + 0,1425) = 0,05997

الإجابة

ζ = 0,05997

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,033 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 40 = 100 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(100000/100) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

الإجابة

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design