تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 1500 N في الجانب المشدود و600 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (24 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (40 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 50C = 24D = 40

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 40 mm وطوله 3 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 1 m. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 300 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 150 MPa، σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 150 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 60 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 170 kN مع عزم التواء 500 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 60 mmF = −170 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 90 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 200 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 1010 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 200 kgk = 200 kN/mc = 1010 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 80 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 12 kN/m و k₂ = 20 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 5,655 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 6,283 m/s

القدرة

P = (1500 − 600)·6,283 = 5655 W = 5,655 kW

الإجابة

P = 5,655 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 138,2 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 960·12/50 = 230,4 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 230,4·24/40 = 138,2 rpm

الإجابة

n_out = 138,2 rpm

النسبة الكلية = 6,944 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 94,31 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

الإجابة

τ_max = 94,31 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 23,71 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·50/6,711 × 10⁶ = 23,71 MPa

الإجابة

τ_max = 23,71 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = −61,85 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547, sin 2θ_s = −30/36,06 = −0,8321

2θ_s = atan2(−30, −20) = −123,7°

الزاوية على العنصر

θ_s = −61,85°

تحقّق: θ_s − θ_p = −61,85 − (−16,85) = −45°

الإجابة

θ_s = −61,85°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 2,229 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −170000/(π·60²/4) = −170000/2827 = −60,13 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = −30,06 MPa

R = √((−30,06)² + 11,79²) = 32,29 MPa

σ₁ = C + R = 2,229 MPa

σ₂ = C − R = −62,35 MPa

الإجابة

σ₁ = 2,229 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1700 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/117000 = 0,0017 = 1700 µε

الإجابة

ε = 1700 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 6,176 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183,3·1500/117000 = 2,351 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·1000/117000 = 3,826 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,176 mm

الإجابة

δ = 6,176 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 269,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

الإجابة

P_cr = 269,2 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 8,567 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

الإجابة

σ_cr = 8,567 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,07985

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·200) = 12649 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 1010/12649 = 0,07985

الإجابة

ζ = 0,07985

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,805 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·80/(32 + 80) = 22,86 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(22857/40) = 23,9 rad/s

f_n = 23,9/(2π) = 3,805 Hz

الإجابة

f_n = 3,805 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design