تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 200 mm تدور بسرعة 1440 rpm بكرةً قطرها 400 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 150 mm وبكرة قطرها 500 mm والمسافة بين مركزيهما 1200 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 150 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 30 kW بسرعة 300 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 40° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 400 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 200 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 95 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 15 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 170 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 15 kgk = 200 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 25 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 691,2 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1440·200/400 = 720 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 720·0,96 = 691,2 rpm

الإجابة

n₂ = 691,2 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 163,2 °

زاوية السير

asin(0,1458) = 8,386°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·8,386 = 163,2°

الإجابة

θ = 163,2°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,167 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·613592) = 0,02037 rad

φ = 0,02037·180/π = 1,167°

الإجابة

φ = 1,167°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 54,82 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·50·0,5904)) = 54,82 mm

d_i = 0,8·54,82 = 43,86 mm

الإجابة

d_o = 54,82 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 45,99 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 58,28 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −10 − 20) = 116,6°

الزاوية على العنصر

θ_p = 58,28°

الإجابة

θ_p = 58,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 10,87 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 30 + 60·0,1736 + −30·0,9848 = 10,87 MPa

الإجابة

σ_θ = 10,87 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,06901 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

الانضغاط

δ = 200000·400/1,159 × 10⁹ = 0,06901 mm

الإجابة

δ = 0,06901 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 6,494 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 98,74 MPa

σ₂ = 840 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98,74·1000/200000 = 0,4937 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·500/70000 = 6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,494 mm

الإجابة

δ = 6,494 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 29,48 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2500² = 29477 N = 29,48 kN

الإجابة

P_cr = 29,48 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 31,58 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

الإجابة

σ_cr = 31,58 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04907

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·15) = 3464 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 170/3464 = 0,04907

الإجابة

ζ = 0,04907

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 45 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 25 = 45 kN/m

الإجابة

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design