تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 500 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 80 mm وبكرة قطرها 200 mm والمسافة بين مركزيهما 500 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 80 mmd₂ = 200 mmC = 500 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 40 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 1,2 m. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر ينقل 50 kW بسرعة 750 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 40 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 30 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 100 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 100 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 15 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 8 mmn = 5

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 60 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 5,429 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 18,1 m/s

القدرة

P = (500 − 200)·18,1 = 5429 W = 5,429 kW

الإجابة

P = 5,429 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 166,2 °

زاوية السير

asin(0,12) = 6,892°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·6,892 = 166,2°

الإجابة

θ = 166,2°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 12,7 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·2000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·79522) = 0,1451 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,07652 + 0,1451 = 0,2216 rad = 12,7°

الإجابة

φ_C = 12,7°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 66,07 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 66,07 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(37,81, 66,07) = 66,07 mm

الإجابة

d = 66,07 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 3,563 °

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 40/40,31 = 0,9923, sin 2θ_s = −(−5)/40,31 = 0,124

2θ_s = atan2(5, 40) = 7,125°

الزاوية على العنصر

θ_s = 3,563°

تحقّق: θ_s − θ_p = 3,563 − 48,56 = −45°

الإجابة

θ_s = 3,563°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 104,4 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 70 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = 114,7 MPa, σ₂ = 25,28 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(114,7² − 114,7·25,28 + 25,28²) = 104,4 MPa

الإجابة

σ_vM = 104,4 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,1079 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·4006 = 4,634 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 100000·500/4,634 × 10⁸ = 0,1079 mm

الإجابة

δ = 0,1079 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 260,9 kN

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0005455) = 0,0005455 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0005455·4,783 × 10⁸ = 260895 N = 260,9 kN

الإجابة

P_max = 260,9 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 4,205 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

الإجابة

P_cr = 4,205 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 64,45 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

الإجابة

σ_cr = 64,45 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02001

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(15/8) = 0,1257

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1257/√(39,48 + 0,01581) = 0,02001

الإجابة

ζ = 0,02001

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,278 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 60 = 70 kN/m

k_eq = 70·12/(70 + 12) = 10,24 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(10244/50) = 14,31 rad/s

f_n = 14,31/(2π) = 2,278 Hz

الإجابة

f_n = 2,278 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design