تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 12 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 60 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 60η = 95%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 80 mm تدور بسرعة 1500 rpm وبكرة قطرها 450 mm؛ والمسافة بين المركزين 1200 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 600 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 80 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 450 mmC = 1200 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الفولاذ مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 50 mm وطوله 0,5 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 1 m. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 50 kW عند 1000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 150 MPa و σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −50 MPa، σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = −50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 15 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 80 kg يحملها نابض جساءته 10 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 450 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 80 kgk = 10 kN/mc = 450 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 100 kN/m والسفلي k₂ = 5 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 9,879 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/151,8 = 9,879 N·m

الإجابة

T₁ = 9,879 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 1,913 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,832 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,708 = 2,03, T₂ = 600/2,03 = 295,6 N

القدرة

P = (600 − 295,6)·6,283 = 1,913 kW

الإجابة

P = 1,913 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 2,397 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·500/(80000·613592) = 0,002546 rad

φ_BC = 250000·1000/(80000·79522) = 0,0393 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,002546 + 0,0393 = 0,04184 rad = 2,397°

الإجابة

φ_C = 2,397°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 4,119 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·50/5,796 × 10⁶ = 4,119 MPa

الإجابة

τ_max = 4,119 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 60,21 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((150 − 60)/2)² + 40²) = 60,21 MPa

الإجابة

τ_max = 60,21 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 127,7 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 20 MPa, R = 72,8 MPa

σ₁ = 92,8 MPa, σ₂ = −52,8 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(92,8² − 92,8·(−52,8) + (−52,8)²) = 127,7 MPa

الإجابة

σ_vM = 127,7 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 19,69 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/1,523 × 10⁻⁵ = 19694 N = 19,69 kN

الإجابة

P = 19,69 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 47,75 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 47,75 MPa

الإجابة

σ_max = 47,75 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 315 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2100² = 314984 N = 315 kN

الإجابة

P_cr = 315 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 79,34 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,34 mm

الإجابة

d = 79,34 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 201,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,2516

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·80) = 1789 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 450/1789 = 0,2516

الإجابة

ζ = 0,2516

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,456 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/5 → k_eq = 100·5/(100 + 5) = 4,762 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(4762/20) = 15,43 rad/s

f_n = 15,43/(2π) = 2,456 Hz

الإجابة

f_n = 2,456 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design