تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 400 N في الجانب المشدود و100 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 150 mm تدور بسرعة 1500 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 1200 mm. معامل الاحتكاك 0,35 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1000 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 150 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من النحاس الأصفر مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 60 mm وطوله 0,8 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 0,8 m. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 60 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 1,2 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 0,5 mb = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 50 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 30 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −50 MPa و σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 15° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 250 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 50 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 320 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 50 kgk = 200 kN/mc = 320 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 30 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 7,238 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 24,13 m/s

القدرة

P = (400 − 100)·24,13 = 7238 W = 7,238 kW

الإجابة

P = 7,238 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 7,664 kW

زاوية الالتفاف

θ = 3,004 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^1,051 = 2,862, T₂ = 1000/2,862 = 349,5 N

القدرة

P = (1000 − 349,5)·11,78 = 7,664 kW

الإجابة

P = 7,664 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 6,281 °

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,006449 rad

φ_BC = 400000·800/(39000·79522) = 0,1032 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,006449 + 0,1032 = 0,1096 rad = 6,281°

الإجابة

φ_C = 6,281°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 0,163 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1,2/1,7 = 282,4 N·m

T_B = 400·0,5/1,7 = 117,6 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 282353·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,002845 rad = 0,163°

الإجابة

φ_C = 0,163°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 45,81 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 60 MPa, R = √((−10)² + 30²) = 31,62 MPa

σ₁ = 91,62 MPa, σ₂ = 28,38 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 91,62, 28,38)/2 = 45,81 MPa

الإجابة

τ_abs = 45,81 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 12,68 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−60·0,5 + −20·0,866 = 12,68 MPa

الإجابة

τ_θ = 12,68 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1432 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/100000 = 0,001432 = 1432 µε

الإجابة

ε = 1432 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 647,2 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0008·8,09 × 10⁸ = 647168 N = 647,2 kN

الإجابة

P_max = 647,2 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 95,49 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1050² = 95488 N = 95,49 kN

الإجابة

P_cr = 95,49 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 8,812 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

الإجابة

σ_cr = 8,812 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,0506

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·50) = 6325 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 320/6325 = 0,0506

الإجابة

ζ = 0,0506

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 13,64 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/30 → k_eq = 25·30/(25 + 30) = 13,64 kN/m

الإجابة

k_eq = 13,64 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design