تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 0,75 kW بسرعة 960 rpm يدير دودة لها 2 مدخل (مداخل). للعجلة الدودية 80 سنًّا وكفاءة نقل الحركة 55%. أوجد عزم الخرج T_w على عمود العجلة.

z = 2N_w = 80n = 960 rpmP = 0,75 kWη = 55%

T_w = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 24 سنًّا ولكل ترس كوكبي 12 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1800 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 24N_p = 12n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 750 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 15 kW بسرعة 500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 130 MPa و σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 25 mm يحمل عزم انحناء مقداره 500 N·m مع عزم التواء 500 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 25 mmM = 500 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 800 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 200 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 200 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 65 kNالجزء 1: Ø40 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 20 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 20 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 5 kg على نابض جساءته 10 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 30 kN/m والسفلي k₂ = 10 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_w = 164,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 960·2/80 = 24 rpm

عزم الخرج

ω_w = 2π·24/60 = 2,513 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,55·750/2,513 = 164,1 N·m

الإجابة

T_w = 164,1 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 900 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·12 = 48

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·24/48 = −900 rpm

|n_r| = 900 rpm

الإجابة

n_r = 900 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 43,35 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0,9375)) = 43,35 mm

d_i = 0,5·43,35 = 21,68 mm

الإجابة

d_o = 43,35 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 42,43 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 59,88 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 59,88 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(28,97, 59,88) = 59,88 mm

الإجابة

d = 59,88 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 78,1 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((130 − 30)/2)² + −60²) = 78,1 MPa

الإجابة

τ_max = 78,1 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 393,5 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·25³) = 325,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 163 MPa

R = √(163² + 163²) = 230,5 MPa

σ₁ = C + R = 393,5 MPa

σ₂ = C − R = −67,51 MPa

الإجابة

σ₁ = 393,5 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,4705 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 200000·800/3,401 × 10⁸ = 0,4705 mm

الإجابة

δ = 0,4705 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 206,9 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 206,9 MPa

الإجابة

σ_max = 206,9 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 33,91 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

الإجابة

P_cr = 33,91 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 56,1 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,1 mm

الإجابة

d = 56,1 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 285,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 6,667 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(10000/5) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,35²) = 6,667 Hz

الإجابة

f_d = 6,667 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 7,5 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/10 → k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7,5 kN/m

الإجابة

k_eq = 7,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design